Номер 3, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Сформулируйте свойство 1 среднего арифметического.

Первое и одно из ключевых свойств среднего арифметического заключается в том, что сумма отклонений всех значений в наборе данных от их среднего арифметического всегда равна нулю. Это свойство показывает, что среднее арифметическое является «центром тяжести» или точкой равновесия для данного набора чисел. Положительные отклонения (когда число больше среднего) в точности компенсируются отрицательными отклонениями (когда число меньше среднего).

В математической форме это свойство записывается так:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$
где $x_i$ — это $i$-й элемент набора данных, $n$ — общее количество элементов, а $\bar{x}$ — их среднее арифметическое.

Доказательство этого свойства:
1. По определению, среднее арифметическое $\bar{x}$ вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.
2. Из этой формулы можно выразить сумму всех элементов: $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \cdot \bar{x}$.
3. Рассмотрим сумму отклонений от среднего: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$.
4. Раскроем скобки в сумме: $\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$.
5. Сумма константы $\bar{x}$, повторенной $n$ раз, равна $n \cdot \bar{x}$. Таким образом, выражение принимает вид: $\sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x}$.
6. Подставив значение суммы из пункта 2, получаем: $n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0$.
Свойство доказано.

Проиллюстрируем на примере:
Пусть дан набор чисел: 2, 7, 9.
- Найдем их среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{2 + 7 + 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$.
- Вычислим отклонения каждого числа от среднего:
$2 - 6 = -4$
$7 - 6 = 1$
$9 - 6 = 3$
- Найдем сумму этих отклонений: $(-4) + 1 + 3 = 0$.
Сумма отклонений действительно равна нулю.

Ответ: Сумма отклонений значений от их среднего арифметического равна нулю.