Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Приведите примеры данных, для описания которых лучше использовать наибольшее значение, чем среднее или медиану.

Наибольшее значение (максимум) используется для описания данных в ситуациях, когда важны предельные нагрузки, пиковые показатели, риски или рекорды, а не типичное или среднее поведение системы. В таких случаях среднее значение или медиана могут быть неинформативными или даже вводить в заблуждение.

Пример 1: Проектирование инженерных сооружений (мосты, дамбы)

При проектировании моста инженеры должны учитывать максимальную возможную нагрузку, которую он должен выдержать. Данными в этом случае является вес транспортных средств, которые будут по нему проезжать. Если рассчитать прочность моста на основе среднего или медианного веса автомобиля, мост может разрушиться под весом одного тяжелого грузовика. Критически важным является именно максимальное значение веса, чтобы обеспечить безопасность.

Ответ: Для расчета прочности моста используется максимальная предполагаемая нагрузка, а не средний вес проезжающих автомобилей.

Пример 2: Планирование мощностей и инфраструктуры (электросети, серверы)

Энергосистема города должна быть рассчитана на пиковое потребление электроэнергии, которое обычно случается в самые жаркие или холодные дни. Если мощность электростанций будет основана на среднем потреблении, то в моменты пикового спроса произойдут массовые отключения. Точно так же веб-сервер должен быть способен обработать максимальное количество одновременных посетителей, чтобы избежать сбоев во время всплеска трафика.

Ответ: При планировании мощностей электросетей или серверов ключевым параметром является максимальное пиковое потребление, а не среднее.

Пример 3: Мониторинг безопасности и рисков (экология, финансы)

При оценке качества воздуха для здоровья людей важны максимальные, а не средние концентрации загрязняющих веществ. Даже один день с экстремально высоким уровнем загрязнения может быть опасен, даже если среднемесячный показатель в норме. В финансовом анализе для оценки риска инвестиций важен максимальный возможный убыток (максимальная просадка), а не средняя дневная доходность.

Ответ: Для оценки рисков для здоровья или финансовых потерь используется максимальное значение (пиковая концентрация загрязнителя, максимальный убыток).

Пример 4: Спортивные рекорды

Достижения спортсмена в таких дисциплинах, как прыжки в высоту, метание копья или тяжелая атлетика, оцениваются по его лучшему результату. Мировой или личный рекорд — это максимальное значение, показанное спортсменом. Средний результат всех его попыток говорит о стабильности, но не определяет его как чемпиона или рекордсмена.

Ответ: Для фиксации спортивных достижений и рекордов используется лучший (максимальный) результат, показанный спортсменом.

2 Приведите примеры данных, для описания которых лучше использовать наименьшее значение, чем среднее или медиану.

Среднее арифметическое ($ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $) и медиана (значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных) являются мерами центральной тенденции и хорошо описывают «типичное» значение в наборе данных. Однако в некоторых ситуациях наиболее важной характеристикой является наименьшее значение ($x_{min}$), так как именно оно определяет критическое свойство всей системы или указывает на наличие серьёзного риска. Такие ситуации часто описываются принципом «прочность цепи определяется прочностью её самого слабого звена».

Прочность конструкции
Представим, что мы измеряем прочность на разрыв в разных звеньях одной цепи. Допустим, мы получили следующие значения прочности (в килограммах): 105, 110, 102, 45, 108. Среднее значение прочности будет $ \bar{x} = \frac{105+110+102+45+108}{5} = 94 $ кг. Медиана (после упорядочивания 45, 102, 105, 108, 110) будет 105 кг. Однако ни среднее, ни медиана не отражают реальную прочность цепи. Цепь порвётся, когда нагрузка достигнет 45 кг, так как это прочность самого слабого звена. Таким образом, именно наименьшее значение ($x_{min} = 45$ кг) является ключевой характеристикой для описания надёжности всей цепи.
Ответ: Прочность моста, цепи или любого другого инженерного сооружения, где критически важна прочность самого слабого элемента.

Минимальная температура для растений
Агроному, выращивающему теплолюбивые культуры (например, помидоры), необходимо следить за температурой воздуха. В течение недели ночные температуры были: +5, +7, +4, +8, +6, +5, -1 (в градусах Цельсия). Средняя температура за неделю будет около +4.9°C, что кажется безопасным. Однако однократное падение температуры до -1°C (наименьшее значение) может погубить весь урожай. Поэтому для оценки риска заморозков агроном будет использовать именно минимальное зафиксированное значение, а не среднее или медиану.
Ответ: Минимальная ночная температура при выращивании чувствительных к заморозкам сельскохозяйственных культур.

Минимальный уровень заряда батареи
Рассмотрим устройство, работающее от нескольких батареек, соединённых последовательно (например, пульт дистанционного управления или детский игрушечный автомобиль). Если уровни заряда четырёх батареек составляют 90%, 85%, 88% и 20%, то устройство перестанет работать, как только иссякнет заряд самой слабой батарейки (с зарядом 20%). Средний уровень заряда (70.75%) в данном случае является бесполезной информацией, так как он не предсказывает момент отключения устройства. Важнейшей характеристикой здесь является минимальный уровень заряда.
Ответ: Уровень заряда батарей в устройстве с последовательным их соединением.

Финансовые показатели и риски
Для того чтобы избежать комиссии за обслуживание, банк может требовать от клиента поддерживать неснижаемый остаток на счёте, например, 15 000 рублей в течение месяца. Если в течение месяца баланс клиента колебался, и в какой-то день он опустился до 14 500 рублей, то условие будет нарушено, даже если средний дневной баланс за месяц был значительно выше (например, 50 000 рублей). Для оценки выполнения условия критическим показателем является минимальное значение баланса за отчётный период.
Ответ: Минимальный остаток на банковском счёте за период для выполнения условий договора или минимальный уровень ликвидности компании для оценки риска банкротства.

3 Что такое размах числового набора?

Размах числового набора — это одна из простейших мер рассеяния (вариации) данных в статистике. Он показывает, насколько велик разброс значений в исследуемой совокупности данных.

Размах вычисляется как разность между наибольшим (максимальным) и наименьшим (минимальным) значениями в числовом наборе.

Формула для вычисления размаха, который обычно обозначается буквой $R$:
$R = x_{max} - x_{min}$
где $x_{max}$ — это максимальное значение в наборе, а $x_{min}$ — минимальное значение в наборе.

Чтобы найти размах числового набора, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить все числа, входящие в набор данных.
2. Найти среди них самое большое число (максимум).
3. Найти среди них самое маленькое число (минимум).
4. Вычесть из максимального значения минимальное. Полученное число и будет размахом.

Пример:

Допустим, у нас есть числовой набор, представляющий собой температуру воздуха в градусах Цельсия в течение недели: {15, 18, 12, 21, 14, 16, 20}.

1. Для наглядности можно упорядочить набор чисел по возрастанию: {12, 14, 15, 16, 18, 20, 21}.

2. Находим максимальное значение в наборе: $x_{max} = 21$.

3. Находим минимальное значение в наборе: $x_{min} = 12$.

4. Теперь вычисляем размах по формуле:
$R = 21 - 12 = 9$.

Таким образом, размах температур за неделю составил 9 градусов. Это говорит о том, что разница между самой низкой и самой высокой температурой за этот период была равна 9 градусам.

Ответ: Размах числового набора — это разность между наибольшим и наименьшим значениями этого набора.

65 Найдите наибольшее и наименьшее значения, размах, среднее значение и медиану набора чисел:

a) 12, 7, 25, 3, 19, 15;

б) 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19.

а)

Дан набор чисел: 12, 7, 25, 3, 19, 15.

Для нахождения статистических характеристик, сначала упорядочим этот набор по возрастанию: 3, 7, 12, 15, 19, 25.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение — это последний элемент в упорядоченном ряду, то есть 25.
Наименьшее значение — это первый элемент в упорядоченном ряду, то есть 3.

Размах:
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями.
$25 - 3 = 22$.

Среднее значение:
Среднее значение (среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех чисел набора, деленная на их количество.
Сумма чисел: $12 + 7 + 25 + 3 + 19 + 15 = 81$.
Количество чисел: 6.
Среднее значение $= \frac{81}{6} = 13.5$.

Медиана:
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора. Так как в наборе четное количество элементов (6), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (третьего и четвертого: 12 и 15).
Медиана $= \frac{12 + 15}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$.

Ответ: наибольшее значение — 25, наименьшее значение — 3, размах — 22, среднее значение — 13.5, медиана — 13.5.

б)

Дан набор чисел: 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19.

Упорядочим этот набор по возрастанию: 5, 13, 17, 19, 19, 41, 47.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение — 47.
Наименьшее значение — 5.

Размах:
Размах $= 47 - 5 = 42$.

Среднее значение:
Сумма чисел: $17 + 19 + 5 + 41 + 47 + 13 + 19 = 161$.
Количество чисел: 7.
Среднее значение $= \frac{161}{7} = 23$.

Медиана:
Так как в наборе нечетное количество элементов (7), медиана равна центральному элементу, который стоит на четвертом месте в упорядоченном ряду.
Медиана — 19.

Ответ: наибольшее значение — 47, наименьшее значение — 5, размах — 42, среднее значение — 23, медиана — 19.

66 Пользуясь таблицей 2 (с. 8), укажите:

a) самый большой по числу жителей в 2021 г. город России;

б) второй по населению город в России в 2021 г.;

в) третий и четвёртый по числу жителей города в России в 2010 г.

а) Для того чтобы найти самый большой по числу жителей город России в 2021 году, необходимо обратиться к таблице 2 и найти в ней город с наибольшим показателем численности населения на указанный год. Таким городом является столица России — Москва.
Ответ: Москва.

б) Вторым по населению городом в России в 2021 году, согласно данным из таблицы 2, является город, занимающий вторую позицию по численности жителей после Москвы. Этот город — Санкт-Петербург.
Ответ: Санкт-Петербург.

в) Чтобы определить третий и четвёртый по числу жителей города в России в 2010 году, нужно посмотреть на данные в соответствующей колонке таблицы 2. Согласно этой информации, третьим по численности населения был город Новосибирск, а четвёртым — город Екатеринбург.
Ответ: Новосибирск и Екатеринбург.

111 Симметричную монету бросают дважды.

a) Изобразите дерево этого эксперимента и подпишите около рёбер вероятности соответствующих событий.

б) Найдите цепь, изображающую элементарное событие РО.

в) Укажите в построенном дереве событие A «в первый раз выпала решка».

г) Укажите в построенном дереве событие B «орёл выпал хотя бы один раз».

а) Дерево эксперимента по двукратному бросанию симметричной монеты имеет начальную точку (корень). Из неё выходят две ветви, соответствующие первому броску. Первая ветвь ведёт к исходу «Орёл» (О), вторая — к исходу «Решка» (Р). Поскольку монета симметричная, вероятность на каждом из этих рёбер равна $1/2$. Из каждого из этих двух исходов (О и Р) также выходят по две ветви, соответствующие второму броску. Из узла «Орёл» выходят ветви к исходам «Орёл» (О) и «Решка» (Р). Из узла «Решка» также выходят ветви к «Орлу» (О) и «Решке» (Р). Вероятности на этих четырёх рёбрах также равны $1/2$. В результате получаются четыре возможных конечных исхода (цепочки): ОО (Орёл, Орёл), ОР (Орёл, Решка), РО (Решка, Орёл) и РР (Решка, Решка).

Ответ: Дерево эксперимента описано выше, оно имеет два уровня ветвления, и вероятность на каждом ребре равна $1/2$.

б) Элементарное событие РО означает, что при первом броске выпала Решка (Р), а при втором – Орёл (О). На построенном дереве этому событию соответствует цепь (путь), которая начинается в корне, идёт по ветви «Решка» на первом уровне, а затем по ветви «Орёл» на втором уровне, приводя к конечному узлу РО.

Ответ: Цепь, изображающая событие РО, это путь от начала эксперимента через узел «Решка» (первый бросок) к узлу «Орёл» (второй бросок).

в) Событие A «в первый раз выпала решка» соответствует той части дерева, которая начинается после первого броска, если его результатом была «Решка» (Р). Это поддерево, которое начинается с ветви «Р» и включает в себя все последующие ветвления. Оно охватывает две полные цепи (два элементарных исхода): первая цепь — это «Решка», а затем «Орёл» (исход РО), а вторая цепь — это «Решка», а затем снова «Решка» (исход РР). Таким образом, событие A состоит из элементарных событий {РО, РР}.

Ответ: Событие A на дереве представлено поддеревом, начинающимся с ветви «Решка» после первого броска, и включающим в себя конечные исходы РО и РР.

г) Событие B «орёл выпал хотя бы один раз» включает в себя все исходы, где есть хотя бы одна буква О (Орёл). На дереве этому событию соответствует совокупность трёх цепей, ведущих к конечным исходам. Это следующие цепи: первая — «Орёл» и «Орёл» (исход ОО); вторая — «Орёл» и «Решка» (исход ОР); третья — «Решка» и «Орёл» (исход РО). Это все возможные исходы, кроме исхода РР (Решка, Решка), где орёл не выпадает ни разу. Таким образом, событие B состоит из элементарных событий {ОО, ОР, РО}.

Ответ: Событие B на дереве представлено совокупностью трёх цепей, ведущих к исходам ОО, ОР и РО.

112 На рисунке 43 изображено дерево некоторого случайного эксперимента. Какие ошибки допущены?

Ветви из S:
S to A: $0,2$
S to B: $0,3$
S to C: $0,2$

Ветви из A:
A to D: $0,2$
A to E: $0,1$
A to F: $0,3$

Ветви из B:
B to G: $0,5$
B to H: $0,5$

Рисунок 43

В дереве вероятностей, представляющем случайный эксперимент, сумма вероятностей всех ветвей, исходящих из одного и того же узла, должна быть равна 1. Это основное свойство, так как оно означает, что из данного состояния эксперимент обязательно перейдет в одно из возможных следующих состояний. Проверим это свойство для узлов S и A на представленном рисунке.

1. Ветви, исходящие из узла S
Из начального узла S выходят три ветви, соответствующие событиям A, B и C. Вероятности на этих ветвях равны 0,2, 0,3 и 0,2. Найдем их сумму:
$0,2 + 0,3 + 0,2 = 0,7$
Сумма вероятностей $0,7$ не равна 1. Это является первой ошибкой.

2. Ветви, исходящие из узла A
Из узла A выходят три ветви, соответствующие исходам D, E и F. Вероятности на этих ветвях равны 0,2, 0,1 и 0,3. Найдем их сумму:
$0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6$
Сумма вероятностей $0,6$ также не равна 1. Это вторая ошибка.

Для узла B сумма вероятностей исходящих ветвей корректна: $0,5 + 0,5 = 1$.

Ответ: В изображенном дереве допущены две ошибки: 1) сумма вероятностей ветвей, выходящих из узла S, не равна единице ($0,2 + 0,3 + 0,2 = 0,7$); 2) сумма вероятностей ветвей, выходящих из узла A, не равна единице ($0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6$).

113 На рисунке 44 изображено дерево некоторого случайного опыта.

а) Перерисуйте дерево в тетрадь и подпишите недостающие вероятности около рёбер.

б) Сколько элементарных событий в этом эксперименте?

в) Пользуясь правилом умножения вероятностей, вычислите вероятности цепочек $SAC$ и $SBE$.

г) Найдите вероятность события $F$.

$S$

$A$

$B$

$0,5$

$C$

$D$

$0,3$

$E$

$F$

$G$

$0,2$

$0,4$

Рисунок 44

а) Сумма вероятностей всех рёбер, выходящих из одного узла дерева вероятностей, равна 1. Исходя из этого правила, найдём недостающие вероятности:

1. Для узла S: из него выходят рёбра SA и SB. Вероятность ребра SB равна 0,5. Значит, вероятность ребра SA равна $1 - 0,5 = 0,5$.

2. Для узла A: из него выходят рёбра AC и AD. Вероятность ребра AD равна 0,3. Значит, вероятность ребра AC равна $1 - 0,3 = 0,7$.

3. Для узла B: из него выходят рёбра BE, BF и BG. Вероятности рёбер BE и BG равны 0,2 и 0,4 соответственно. Значит, вероятность ребра BF равна $1 - 0,2 - 0,4 = 0,4$.

Ответ: Вероятность на ребре SA - 0,5; на ребре AC - 0,7; на ребре BF - 0,4.

б) Элементарными событиями (или исходами) в данном эксперименте являются все возможные конечные точки дерева. В данном случае это точки C, D, E, F, G. Всего таких точек 5.Ответ: 5 элементарных событий.

в) Вероятность цепочки событий (пути по дереву) равна произведению вероятностей на рёбрах, составляющих эту цепочку.

1. Для цепочки SAC: Путь состоит из рёбер SA и AC. Вероятность $P(SAC) = P(SA) \times P(AC)$. Используя найденные в пункте а) значения, получаем: $P(SAC) = 0,5 \times 0,7 = 0,35$.

2. Для цепочки SBE: Путь состоит из рёбер SB и BE. Вероятности на этих рёбрах даны в условии. $P(SBE) = P(SB) \times P(BE) = 0,5 \times 0,2 = 0,1$.

Ответ: Вероятность цепочки SAC равна 0,35; вероятность цепочки SBE равна 0,1.

г) Событие F означает, что эксперимент закончился в точке F. Это соответствует прохождению по цепочке SBF. Вероятность этого события равна произведению вероятностей на рёбрах SB и BF.

$P(F) = P(SBF) = P(SB) \times P(BF)$. Используя данные из условия и результат пункта а), получаем: $P(F) = 0,5 \times 0,4 = 0,2$.

Ответ: 0,2.

114 На рисунке 45 изображено дерево некоторого случайного опыта.

а) Постройте это дерево в своей тетради и подпишите недостающие вероятности около рёбер.

б) Вычислите вероятности цепочек SAC и SAGF.

S, A, B, C, G, D, E, F

$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$

Рисунок 45

a)

Чтобы найти недостающие вероятности, воспользуемся правилом, что сумма вероятностей всех ветвей, выходящих из одного узла, равна 1.

1. Для узла S: из него выходят две ветви, SA и SB. Вероятность ветви SA дана и равна $\frac{1}{2}$. Следовательно, вероятность ветви SB равна:

$P(S \to B) = 1 - P(S \to A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2. Для узла A: из него выходят две ветви, AC и AG. Вероятность ветви AG дана и равна $\frac{1}{3}$. Следовательно, вероятность ветви AC равна:

$P(A \to C) = 1 - P(A \to G) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. Для узла G: из него выходят три ветви, GD, GE и GF. Вероятности ветвей GD и GE даны и равны $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{2}$ соответственно. Следовательно, вероятность ветви GF равна:

$P(G \to F) = 1 - P(G \to D) - P(G \to E) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: Недостающие вероятности: для ребра SB - $\frac{1}{2}$, для ребра AC - $\frac{2}{3}$, для ребра GF - $\frac{1}{4}$.

б)

Вероятность конкретной цепочки событий (пути на дереве) вычисляется как произведение вероятностей всех рёбер, составляющих эту цепочку.

1. Вероятность цепочки SAC:

Этот путь состоит из рёбер SA и AC. Их вероятности равны $P(S \to A) = \frac{1}{2}$ и $P(A \to C) = \frac{2}{3}$ (найдено в пункте а).

$P(SAC) = P(S \to A) \times P(A \to C) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. Вероятность цепочки SAGF:

Этот путь состоит из рёбер SA, AG и GF. Их вероятности равны $P(S \to A) = \frac{1}{2}$, $P(A \to G) = \frac{1}{3}$ и $P(G \to F) = \frac{1}{4}$ (найдено в пункте а).

$P(SAGF) = P(S \to A) \times P(A \to G) \times P(G \to F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$

Ответ: Вероятность цепочки SAC равна $\frac{1}{3}$, вероятность цепочки SAGF равна $\frac{1}{24}$.

115 На рисунке 46 изображено дерево некоторого случайного опыта и событие $A$.

Рёбра проведены пунктиром. Известно, что из каждой точки возможные переходы к следующим событиям равновероятны.

а) Перерисуйте дерево в тетрадь и подпишите около рёбер соответствующие вероятности.

б) Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию $A$.

в) Найдите вероятность события $A$.

$S$

$A$

Рисунок 46

а) Согласно условию, из каждой точки (узла дерева) возможные переходы равновероятны. Это означает, что вероятность перехода по любому ребру, выходящему из узла, равна $1/n$, где $n$ — количество рёбер, выходящих из этого узла. Распишем вероятности для каждого ребра:
1. Из начальной точки S выходят 2 ребра. Вероятность перехода по каждому из них равна $\frac{1}{2}$.
2. По левой ветви от S:
- Из первого узла выходят 2 ребра. Вероятность каждого — $\frac{1}{2}$.
- Из узла, находящегося выше, выходят 2 ребра к конечным исходам. Вероятность каждого — $\frac{1}{2}$.
- Из узла, находящегося ниже, выходит 1 ребро к конечному исходу. Его вероятность — $1$.
3. По правой ветви от S:
- Из первого узла выходят 3 ребра к конечным исходам. Вероятность каждого из них равна $\frac{1}{3}$.
Ответ: Вероятности на рёбрах дерева, начиная от точки S: на первом уровне два ребра с вероятностями по $\frac{1}{2}$; на левой ветви на втором уровне два ребра с вероятностями по $\frac{1}{2}$; далее на верхней левой ветви два ребра с вероятностями по $\frac{1}{2}$, а на нижней левой ветви одно ребро с вероятностью $1$; на правой ветви на втором уровне три ребра с вероятностями по $\frac{1}{3}$.

б) Событию А благоприятствуют три исхода. Цепочки (пути от S до этих исходов) следующие:
1. Путь от S налево, затем на развилке вниз-налево, и далее по единственному ребру до исхода в области А.
2. Путь от S налево, затем на развилке вверх-налево, и далее по правому ребру до исхода в области А.
3. Путь от S направо, и далее по левому из трёх рёбер до исхода в области А.
Ответ: Описаны три цепочки, ведущие к исходам, входящим в событие А.

в) Вероятность события А равна сумме вероятностей цепочек (исходов), благоприятствующих этому событию. Вероятность каждой цепочки находится произведением вероятностей рёбер, составляющих эту цепочку.
1. Вероятность первой благоприятствующей цепочки (S → лево → вниз → исход): $P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
2. Вероятность второй благоприятствующей цепочки (S → лево → вверх → право → исход): $P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
3. Вероятность третьей благоприятствующей цепочки (S → право → лево → исход): $P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Суммарная вероятность события А:
$P(A) = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6}$.
Приводим дроби к общему знаменателю 24:
$P(A) = \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{6 + 3 + 4}{24} = \frac{13}{24}$.
Ответ: $\frac{13}{24}$.

116 На рисунке 47 изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события $A$ и $B$. Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны.

а) Постройте это дерево в своей тетради. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию $A$. Другим цветом обведите цепочки, благоприятствующие событию $B$.

б) Найдите вероятность события $A$.

в) Найдите вероятность события $B$.

а) Для решения задачи сначала проанализируем структуру дерева случайного опыта. Из условия известно, что ребра, исходящие из одной вершины, равновероятны. На основе типового вида подобных диаграмм и постановки задачи можно восстановить его структуру:
1. Из начальной точки (корня) выходят две ветви. Следовательно, вероятность выбора каждой из них равна $1/2$.
2. Из левой вершины выходит три ветви. Вероятность выбора каждой из них равна $1/3$. Эти три ветви ведут к трем конечным исходам.
3. Из правой вершины выходит две ветви. Вероятность выбора каждой из них равна $1/2$. Эти две ветви ведут к двум конечным исходам.
Всего в эксперименте 5 возможных исходов (цепочек от корня до конца ветви).
Событию А благоприятствуют первые две цепочки, проходящие через левую ветвь.
Событию В благоприятствуют третья цепочка, проходящая через левую ветвь, и первая цепочка, проходящая через правую ветвь.
Ответ: В соответствии с заданием, в тетради нужно обвести сплошной линией две цепочки, соответствующие событию A, и другим цветом — две цепочки, соответствующие событию B.

б) Вероятность события A равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов. Событию А благоприятствуют два исхода. Найдем вероятность каждого из них.
Оба благоприятствующих исхода проходят через левую ветвь первого уровня (вероятность $1/2$) и затем по одной из трех ветвей второго уровня (вероятность каждой $1/3$).
Вероятность первого благоприятствующего исхода: $P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Вероятность второго благоприятствующего исхода: $P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Полная вероятность события А равна сумме вероятностей этих исходов:
$P(A) = P_1 + P_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $P(A) = \frac{1}{3}$.

в) Вероятность события В также равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов. Событию В благоприятствуют два разных исхода.
Первый благоприятствующий исход проходит через левую ветвь (вероятность $1/2$), а затем по третьей ветви второго уровня (вероятность $1/3$). Его вероятность:
$P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Второй благоприятствующий исход проходит через правую ветвь (вероятность $1/2$), а затем по одной из двух ветвей второго уровня (вероятность $1/2$). Его вероятность:
$P_4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Полная вероятность события В равна сумме вероятностей этих двух исходов. Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P(B) = P_3 + P_4 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $P(B) = \frac{5}{12}$.