Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

71 Как изменится размах числового набора, если:

а) наименьшее число набора уменьшить на 50;

б) наибольшее число набора увеличить на 100?

Размах числового набора — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе.

Пусть $x_{max}$ — наибольшее число набора, а $x_{min}$ — наименьшее число набора. Тогда первоначальный размах $R$ равен:

$R = x_{max} - x_{min}$

а) наименьшее число набора уменьшить на 50;

Если наименьшее число набора уменьшить на 50, то новым наименьшим числом станет $x'_{min} = x_{min} - 50$. При этом наибольшее число $x_{max}$ не изменится. Новый размах набора, который обозначим как $R'$, будет равен:

$R' = x_{max} - x'_{min} = x_{max} - (x_{min} - 50) = x_{max} - x_{min} + 50$

Поскольку первоначальный размах $R = x_{max} - x_{min}$, мы можем подставить это в формулу для нового размаха:

$R' = R + 50$

Это означает, что размах числового набора увеличится на 50.

Ответ: Размах увеличится на 50.

б) наибольшее число набора увеличить на 100?

Если наибольшее число набора увеличить на 100, то новым наибольшим числом станет $x''_{max} = x_{max} + 100$. При этом наименьшее число $x_{min}$ не изменится. Новый размах набора, который обозначим как $R''$, будет равен:

$R'' = x''_{max} - x_{min} = (x_{max} + 100) - x_{min} = (x_{max} - x_{min}) + 100$

Поскольку первоначальный размах $R = x_{max} - x_{min}$, мы можем подставить это в формулу для нового размаха:

$R'' = R + 100$

Это означает, что размах числового набора увеличится на 100.

Ответ: Размах увеличится на 100.

72 Все числа в наборе положительны. Как изменится размах числового набора, если:

a) каждое число набора разделить на 5;

б) каждое число умножить на 3?

Размах числового набора — это разница между наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе. Обозначим исходный набор чисел как $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$. Пусть $x_{max}$ — наибольшее число в этом наборе, а $x_{min}$ — наименьшее. По условию, все числа положительны, значит $x_{max} > x_{min} > 0$.

Изначальный размах набора $R$ вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$

а) каждое число набора разделить на 5;

При делении каждого числа набора на 5, мы получим новый набор чисел. Так как мы делим на положительное число (5), то наибольшее значение исходного набора станет наибольшим и в новом наборе (после деления), а наименьшее останется наименьшим.

Новое наибольшее значение: $x'_{max} = \frac{x_{max}}{5}$.
Новое наименьшее значение: $x'_{min} = \frac{x_{min}}{5}$.

Новый размах $R_a$ будет равен: $R_a = x'_{max} - x'_{min} = \frac{x_{max}}{5} - \frac{x_{min}}{5} = \frac{1}{5}(x_{max} - x_{min})$

Поскольку $R = x_{max} - x_{min}$, то $R_a = \frac{R}{5}$. Таким образом, размах набора уменьшится в 5 раз.
Ответ: Размах уменьшится в 5 раз.

б) каждое число набора умножить на 3?

При умножении каждого числа набора на 3, мы получим новый набор чисел. Так как мы умножаем на положительное число (3), то порядок чисел сохранится.

Новое наибольшее значение: $x''_{max} = 3 \cdot x_{max}$.
Новое наименьшее значение: $x''_{min} = 3 \cdot x_{min}$.

Новый размах $R_б$ будет равен: $R_б = x''_{max} - x''_{min} = 3 \cdot x_{max} - 3 \cdot x_{min} = 3(x_{max} - x_{min})$

Поскольку $R = x_{max} - x_{min}$, то $R_б = 3R$. Таким образом, размах набора увеличится в 3 раза.
Ответ: Размах увеличится в 3 раза.

73 Все числа в наборе отрицательны. Как изменится размах числового набора, если:

а) каждое число набора разделить на 5;

б) каждое число умножить на 3?

Размах числового набора — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе. Пусть в исходном наборе, состоящем из отрицательных чисел, наибольшее число равно $x_{max}$, а наименьшее — $x_{min}$. Поскольку все числа отрицательные, то $x_{max}$ — это число, ближайшее к нулю (например, -2), а $x_{min}$ — число с наибольшим модулем (например, -10). При этом всегда $x_{max} > x_{min}$. Исходный размах набора равен $R = x_{max} - x_{min}$.

а) каждое число набора разделить на 5;

При делении каждого числа набора на положительное число 5, порядок чисел в наборе сохранится. Новым наибольшим числом станет $\frac{x_{max}}{5}$, а новым наименьшим — $\frac{x_{min}}{5}$. Найдем новый размах $R_{a}$:
$R_{a} = \frac{x_{max}}{5} - \frac{x_{min}}{5} = \frac{x_{max} - x_{min}}{5} = \frac{R}{5}$
Следовательно, размах набора уменьшится в 5 раз.

Ответ: Размах уменьшится в 5 раз.

б) каждое число набора умножить на 3?

При умножении каждого числа набора на положительное число 3, порядок чисел в наборе также сохранится. Новым наибольшим числом станет $3 \cdot x_{max}$, а новым наименьшим — $3 \cdot x_{min}$. Найдем новый размах $R_{b}$:
$R_{b} = (3 \cdot x_{max}) - (3 \cdot x_{min}) = 3 \cdot (x_{max} - x_{min}) = 3R$
Следовательно, размах набора увеличится в 3 раза.

Ответ: Размах увеличится в 3 раза.

123 В торговом центре рядом друг с другом установлены два автомата, продающие кофе в стаканчиках. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в первом автомате, равна 0,2. Если это случилось, то нагрузка на второй автомат растёт, и кофе может закончиться в нём с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что:

a) к концу дня в обоих автоматах закончится кофе;

б) к концу дня кофе закончится только в первом автомате.

Указание. Найдите сначала условную вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится.

Для решения задачи введем обозначения событий:
$A$ – событие, состоящее в том, что к концу дня кофе закончится в первом автомате.
$B$ – событие, состоящее в том, что к концу дня кофе закончится во втором автомате.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
Вероятность события $A$: $P(A) = 0,2$.
Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, при условии, что он закончился в первом (условная вероятность события $B$ при условии $A$): $P(B|A) = 0,8$.

Нам необходимо найти вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, то есть вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$. Это вероятность их пересечения $P(A \cap B)$.
По формуле умножения вероятностей для зависимых событий:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$.
Подставляем известные значения:
$P(A \cap B) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$.

Ответ: 0,16

Это событие означает, что кофе закончился в первом автомате (событие $A$) и одновременно не закончился во втором автомате. Обозначим событие "кофе не закончится во втором автомате" как $\bar{B}$. Нам нужно найти вероятность $P(A \cap \bar{B})$.
Сначала, согласно указанию, найдем условную вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится, при условии, что в первом он закончился. Это вероятность $P(\bar{B}|A)$.
События "кофе закончится во втором автомате" ($B$) и "кофе не закончится во втором автомате" ($\bar{B}$) являются противоположными. Сумма их вероятностей при условии, что событие $A$ уже произошло, равна 1:
$P(B|A) + P(\bar{B}|A) = 1$.
Отсюда можем выразить и вычислить $P(\bar{B}|A)$:
$P(\bar{B}|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,8 = 0,2$.
Теперь, используя формулу умножения вероятностей, найдем искомую вероятность:
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}|A)$.
Подставляем значения:
$P(A \cap \bar{B}) = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.

Ответ: 0,04

124 В семье двое детей. Известно, что среди них есть мальчик. Найдите вероятность того, что второй ребенок тоже мальчик (считайте, что рождение мальчика и девочки равновозможны).

Для решения этой задачи по теории вероятностей определим все возможные равновероятные исходы для семьи с двумя детьми. Обозначим рождение мальчика буквой "М", а рождение девочки – буквой "Д". Порядок детей важен (старший, затем младший).

Всего существует 4 возможных комбинации пола детей:

• ММ (оба ребенка – мальчики)
• МД (старший – мальчик, младшая – девочка)
• ДМ (старшая – девочка, младший – мальчик)
• ДД (оба ребенка – девочки)

Согласно условию задачи, "известно, что среди них есть мальчик". Это означает, что вариант (ДД), где оба ребенка – девочки, невозможен. Таким образом, мы должны исключить этот исход из нашего пространства элементарных событий.

Оставшиеся возможные исходы, удовлетворяющие условию, что в семье есть хотя бы один мальчик:

• ММ
• МД
• ДМ

Всего у нас осталось 3 равновероятных исхода.

Теперь нам нужно найти вероятность события, что "второй ребёнок тоже мальчик". Это означает, что в семье два мальчика. Среди трех возможных исходов (ММ, МД, ДМ) этому событию соответствует только один – (ММ).

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов в нашем новом (условном) пространстве событий.

Число благоприятных исходов (оба ребенка – мальчики): 1 (исход ММ).

Общее число возможных исходов (в семье есть хотя бы один мальчик): 3 (исходы ММ, МД, ДМ).

Следовательно, искомая вероятность равна:

$P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

125 В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал из коробки 2 фломастера, причём оказалось, что среди них есть синий. Какова вероятность, что Ваня достал:

а) 2 синих фломастера;

б) 1 красный и 1 синий?

В коробке находится $2$ красных и $3$ синих фломастера, всего $2+3=5$ фломастеров. Ваня достает 2 фломастера.

Найдем общее число способов достать 2 фломастера из 5. Это число сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Существует 10 равновероятных способов достать 2 фломастера. Теперь рассмотрим возможные комбинации по цветам:

• Достать 2 красных фломастера: число способов $C_2^2 = 1$.

• Достать 2 синих фломастера: число способов $C_3^2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

• Достать 1 красный и 1 синий фломастер: число способов $C_2^1 \cdot C_3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверка: $1 + 3 + 6 = 10$ способов, что соответствует общему числу сочетаний.

По условию задачи, известно, что среди двух вынутых фломастеров есть синий. Это означает, что событие "достали 2 красных фломастера" не произошло. Следовательно, мы рассматриваем условную вероятность. Пространство возможных исходов сужается. Общее число исходов, удовлетворяющих условию (хотя бы один синий), равно общему числу исходов минус число исходов, где оба фломастера красные:

$N_{\text{условие}} = 10 - 1 = 9$

Эти 9 исходов состоят из 3 случаев, когда достали 2 синих, и 6 случаев, когда достали 1 красный и 1 синий.

а) 2 синих фломастера;

Найдем вероятность того, что Ваня достал 2 синих фломастера, при условии, что среди них есть хотя бы один синий. Число благоприятных этому событию исходов (2 синих фломастера) равно 3. Общее число исходов в нашем новом, суженном пространстве, равно 9.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов, удовлетворяющих условию:

$P(\text{2 синих | есть хотя бы 1 синий}) = \frac{\text{Число способов достать 2 синих}}{\text{Число способов достать хотя бы 1 синий}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) 1 красный и 1 синий?

Найдем вероятность того, что Ваня достал 1 красный и 1 синий фломастер, при условии, что среди них есть хотя бы один синий. Число благоприятных этому событию исходов (1 красный и 1 синий) равно 6. Общее число исходов в суженном пространстве по-прежнему равно 9.

Искомая вероятность равна:

$P(\text{1 красный и 1 синий | есть хотя бы 1 синий}) = \frac{\text{Число способов достать 1 красный и 1 синий}}{\text{Число способов достать хотя бы 1 синий}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

126 На двух заводах изготавливают одинаковые лампочки для автомобильных фар. 30% всех лампочек делают на первом заводе, остальные — на втором. В среднем 10% продукции первого завода и 20% продукции второго завода поступают в торговую сеть «Автоимидж». Найдите вероятность того, что лампочка, купленная в магазине сети «Автоимидж», произведена на первом заводе.

Для решения этой задачи по теории вероятностей введем следующие обозначения для событий:

$A_1$ – событие, состоящее в том, что лампочка изготовлена на первом заводе.

$A_2$ – событие, состоящее в том, что лампочка изготовлена на втором заводе.

$B$ – событие, состоящее в том, что лампочка куплена в магазине сети «Автоимидж».

Исходя из условия задачи, мы можем определить следующие вероятности:

Вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе: $P(A_1) = 0.30$.

Поскольку все лампочки производятся только на этих двух заводах, вероятность того, что лампочка произведена на втором заводе, составляет: $P(A_2) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.30 = 0.70$.

Вероятность того, что лампочка поступит в продажу в «Автоимидж», если она произведена на первом заводе (условная вероятность): $P(B|A_1) = 0.10$.

Вероятность того, что лампочка поступит в продажу в «Автоимидж», если она произведена на втором заводе (условная вероятность): $P(B|A_2) = 0.20$.

Нам необходимо найти вероятность того, что лампочка, купленная в «Автоимидж», была произведена на первом заводе, то есть $P(A_1|B)$.

Сначала найдем полную вероятность события $B$ (того, что лампочка куплена в «Автоимидж»). Лампочка может попасть в магазин либо с первого, либо со второго завода. По формуле полной вероятности:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2)$

Подставим известные значения:

$P(B) = 0.30 \cdot 0.10 + 0.70 \cdot 0.20 = 0.03 + 0.14 = 0.17$

Теперь мы можем найти искомую условную вероятность $P(A_1|B)$ по формуле Байеса:

$P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)}$

Подставляем значения:

$P(A_1|B) = \frac{0.30 \cdot 0.10}{0.17} = \frac{0.03}{0.17} = \frac{3}{17}$

Ответ: $\frac{3}{17}$