Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

134 Бросают одну игральную кость. Событие $A$ — «выпадет чётное число очков».

Являются ли независимыми события $A$ и $B$, если событие $B$ состоит в том, что:

a) выпадет число очков, кратное 3;

б) выпадет число очков, кратное 5?

Два события A и B называются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

При броске одной игральной кости всего 6 равновозможных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A — «выпадет чётное число очков». Этому событию благоприятствуют 3 исхода: {2, 4, 6}.

Вероятность события A: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

а) выпадет число очков, кратное 3;

Событие B — «выпадет число очков, кратное 3». Этому событию благоприятствуют 2 исхода: {3, 6}.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Событие $A \cap B$ означает, что выпадет число, которое является одновременно и чётным, и кратным 3. Этому событию благоприятствует только один исход: {6}.

Вероятность пересечения событий A и B: $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.

Теперь проверим условие независимости. Вычислим произведение вероятностей событий A и B:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ( $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ ), события A и B являются независимыми.

Ответ: да, являются.

б) выпадет число очков, кратное 5?

Событие B — «выпадет число очков, кратное 5». Этому событию благоприятствует 1 исход: {5}.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{1}{6}$.

Событие $A \cap B$ означает, что выпадет число, которое является одновременно и чётным, и кратным 5. Среди исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} нет такого числа. Следовательно, событие $A \cap B$ является невозможным.

Вероятность пересечения событий A и B: $P(A \cap B) = \frac{0}{6} = 0$.

Проверим условие независимости. Вычислим произведение вероятностей событий A и B:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Так как $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ ( $0 \neq \frac{1}{12}$ ), события A и B не являются независимыми (являются зависимыми).

Ответ: нет, не являются.

135 Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в течение года, равна 0,2. Считая, что лампочки перегорают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что в течение года перегорят все лампочки в люстре, если в люстре:

a) 2 лампочки;

б) 3 лампочки;

в) 5 лампочек.

Пусть $p$ — это вероятность того, что одна лампочка перегорит в течение года. По условию задачи, $p = 0,2$.

Поскольку лампочки перегорают независимо друг от друга, вероятность того, что все лампочки перегорят, равна произведению вероятностей перегорания каждой из них. Если в люстре $n$ лампочек, то искомая вероятность $P_n$ вычисляется по формуле:
$P_n = p^n$

а) 2 лампочки;
Для двух лампочек ($n=2$) вероятность того, что перегорят обе, равна:
$P_2 = 0,2^2 = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

б) 3 лампочки;
Для трех лампочек ($n=3$) вероятность того, что перегорят все три, равна:
$P_3 = 0,2^3 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008$.
Ответ: 0,008.

в) 5 лампочек.
Для пяти лампочек ($n=5$) вероятность того, что перегорят все пять, равна:
$P_5 = 0,2^5 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,00032$.
Ответ: 0,00032.

136 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Рассмотрим события $A$ «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов» и $B$ «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов». Являются ли события $A$ и $B$ независимыми?

Два события A и B называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Если это равенство не выполняется, события являются зависимыми. Проверим выполнение этого условия для данных событий.

Пусть $p$ — вероятность попадания в мишень при одном выстреле, а $q = 1 - p$ — вероятность промаха. Для того чтобы задача имела нетривиальное решение, будем считать, что $0 < p < 1$, а значит и $0 < q < 1$.

Сначала найдем вероятности событий A и B.

Событие A — «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов». Это значит, что стрелок поразил мишень с первой, второй или третьей попытки. Проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$ — «стрелку потребовалось более трёх выстрелов». Это событие произойдет, если стрелок промахнется в первых трёх выстрелах. Вероятность этого $P(\bar{A}) = q \cdot q \cdot q = q^3$.

Тогда вероятность события A равна: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - q^3$.

Событие B — «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов». Аналогично, противоположное событие $\bar{B}$ — «стрелку потребовалось более пяти выстрелов» — означает промах в первых пяти выстрелах. Вероятность этого $P(\bar{B}) = q^5$.

Тогда вероятность события B равна: $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - q^5$.

Теперь найдем вероятность пересечения событий $A \cap B$. Событие $A \cap B$ означает, что произошли оба события: стрелку потребовалось не более трёх выстрелов И не более пяти выстрелов. Если произошло событие A (потребовалось не более трёх выстрелов), то автоматически выполняется и условие события B (потребовалось не более пяти выстрелов). Таким образом, событие A влечет за собой событие B, то есть является его подмножеством ($A \subseteq B$). Следовательно, их пересечение равно A: $A \cap B = A$.

Вероятность пересечения равна вероятности события A: $P(A \cap B) = P(A) = 1 - q^3$.

Проверим условие независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Подставим найденные значения:

$$ 1 - q^3 = (1 - q^3) \cdot (1 - q^5) $$

Так как мы рассматриваем случай $0 < q < 1$, то $1 - q^3 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $1 - q^3$:

$$ 1 = 1 - q^5 $$

Из этого уравнения следует, что $q^5 = 0$, что означает $q = 0$. Если $q=0$, то $p=1$, то есть стрелок всегда попадает с первого раза. Это противоречит нашему допущению, что $0 < p < 1$.

Равенство для независимости событий выполняется только в тривиальных случаях: когда $p=1$ ($q=0$) или когда $p=0$ ($q=1$). В общем случае, когда вероятность попадания находится в интервале $(0, 1)$, равенство не выполняется. Следовательно, события A и B являются зависимыми. Интуитивно это означает, что знание о том, что произошло событие B (потребовалось не более 5 выстрелов), увеличивает вероятность наступления события A (потребовалось не более 3 выстрелов), так как исключаются исходы, где требуется 6 и более выстрелов.

Ответ: Нет, события A и B являются зависимыми (за исключением тривиальных случаев, когда вероятность попадания в мишень равна 0 или 1).

137 В некотором случайном опыте вероятность события $A$ равна $0,4$, вероятность события $B$ равна $0,5$. Известно, что события $A$ и $B$ независимы. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Для нахождения вероятности объединения двух событий $A$ и $B$, то есть вероятности того, что произойдет хотя бы одно из этих событий, используется формула сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

где $P(A)$ – вероятность события $A$, $P(B)$ – вероятность события $B$, а $P(A \cap B)$ – вероятность их одновременного наступления (пересечения).

По условию задачи, события $A$ и $B$ являются независимыми. Это означает, что вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

$P(A) = 0,4$

$P(B) = 0,5$

Сначала найдем вероятность пересечения событий $A$ и $B$:

$P(A \cap B) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2$

Теперь подставим все известные значения в формулу для вероятности объединения:

$P(A \cup B) = 0,4 + 0,5 - 0,2$

Выполним вычисления:

$P(A \cup B) = 0,9 - 0,2 = 0,7$

Таким образом, вероятность события $A \cup B$ равна 0,7.

Ответ: 0,7

138 События $A$ и $B$ независимы. Докажите, что независимы события $A$ и $\overline{B}$.

По определению, события A и B являются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Нам нужно доказать, что события A и $\bar{B}$ (событие, противоположное событию B) также являются независимыми. Для этого необходимо показать, что выполняется равенство:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B})$

Рассмотрим событие A. Его можно представить как объединение двух несовместных (взаимоисключающих) событий: "произошло и A, и B" (событие $A \cap B$) и "произошло A, но не произошло B" (событие $A \cap \bar{B}$).

Таким образом, $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$.

Поскольку события $(A \cap B)$ и $(A \cap \bar{B})$ несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(A) = P((A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$

Из этого уравнения выразим вероятность $P(A \cap \bar{B})$:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

По условию задачи, события A и B независимы, следовательно, мы можем подставить $P(A) \cdot P(B)$ вместо $P(A \cap B)$:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A) \cdot P(B)$

Вынесем общий множитель $P(A)$ за скобки:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot (1 - P(B))$

Вероятность противоположного события $\bar{B}$ вычисляется по формуле $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$. Подставим это выражение в наше равенство:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B})$

Это равенство является определением независимости событий A и $\bar{B}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.