Номер 1, страница 137 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

1. В стеклянный сосуд (стакан или банку) налейте произвольное количество воды. Выполнив необходимые измерения соответствующих величин, вычислите давление воды на дно сосуда двумя способами:

а) по весу воды $\text{P}$;

б) по плотности воды $\rho$.

Объясните, почему в обоих случаях получается одинаковый результат.

Для решения этой задачи необходимо провести мысленный или реальный эксперимент. Для этого возьмем стеклянный стакан цилиндрической формы, нальем в него воду и произведем необходимые измерения для вычисления давления. Для расчетов примем следующие гипотетические значения, которые можно было бы получить в ходе эксперимента.

Дано:

Внутренний диаметр стакана: $d = 7$ см

Высота столба воды в стакане: $h = 10$ см

Плотность пресной воды: $\rho \approx 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ Н/кг

Перевод в систему СИ:

$d = 0,07$ м

$h = 0,1$ м

Найти:

Давление воды на дно сосуда $p$.

Решение:

а) Вычисление давления по весу воды $P$

Давление определяется как сила, действующая на единицу площади. В нашем случае сила — это вес воды $P$, а площадь — это площадь дна сосуда $S$.

$p = \frac{P}{S}$

1. Сначала найдем площадь дна стакана $S$. Так как дно круглое, его площадь вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус дна. Радиус равен половине диаметра: $r = d/2$.

$r = \frac{0,07 \text{ м}}{2} = 0,035$ м

$S = \pi \cdot (0,035 \text{ м})^2 = \pi \cdot 0,001225 \text{ м}^2 \approx 0,00385$ м²

2. Далее найдем вес воды $P$. Вес вычисляется по формуле $P = m \cdot g$, где $m$ — масса воды.

3. Массу воды найдем через ее плотность $\rho$ и объем $V$: $m = \rho \cdot V$.

4. Объем воды в цилиндрическом стакане равен произведению площади основания на высоту: $V = S \cdot h$.

$V \approx 0,00385 \text{ м}^2 \cdot 0,1 \text{ м} = 0,000385$ м³

5. Теперь вычислим массу воды:

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,000385 \text{ м}^3 = 0,385$ кг

6. Найдем вес воды:

$P = 0,385 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \approx 3,773$ Н

7. Наконец, вычислим давление, которое вода оказывает на дно сосуда:

$p = \frac{P}{S} \approx \frac{3,773 \text{ Н}}{0,00385 \text{ м}^2} = 980$ Па

Ответ: давление воды на дно сосуда, вычисленное по весу воды, составляет 980 Па.

б) Вычисление давления по плотности воды $\rho$

Давление столба жидкости (гидростатическое давление) можно вычислить по специальной формуле, которая напрямую связывает его с плотностью жидкости $\rho$, ускорением свободного падения $g$ и высотой столба жидкости $h$.

$p = \rho \cdot g \cdot h$

Подставим в эту формулу наши значения:

$p = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,1 \text{ м} = 980$ Па

Ответ: давление воды на дно сосуда, вычисленное по плотности, составляет 980 Па.

Объяснение, почему в обоих случаях получается одинаковый результат

Результаты вычислений в обоих случаях совпадают, потому что формула для гидростатического давления ($p = \rho g h$) является прямым следствием основной формулы давления ($p = F/S$) применительно к столбу жидкости в сосуде с вертикальными стенками.

Продемонстрируем это математически, выведя вторую формулу из первой.

1. Исходная формула: $p = \frac{P}{S}$ (здесь сила $F$ — это вес $P$).

2. Вес воды $P$ равен произведению ее массы $m$ на ускорение свободного падения $g$: $P = m \cdot g$. Подставим в первую формулу:

$p = \frac{m \cdot g}{S}$

3. Масса воды $m$ равна произведению ее плотности $\rho$ на объем $V$: $m = \rho \cdot V$. Подставим в полученное выражение:

$p = \frac{(\rho \cdot V) \cdot g}{S}$

4. Для сосуда с постоянной площадью поперечного сечения $S$ (цилиндр, призма) объем жидкости $V$ равен произведению площади дна $S$ на высоту столба жидкости $h$: $V = S \cdot h$. Подставим это в нашу формулу:

$p = \frac{(\rho \cdot S \cdot h) \cdot g}{S}$

5. Как видно из формулы, площадь дна $S$ находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому ее можно сократить:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

Таким образом, мы доказали, что первая и вторая формулы математически эквивалентны для данного случая. Физический смысл этого заключается в том, что давление на дно зависит не от общего веса жидкости, а от высоты ее столба над этим дном. Расчет через вес и площадь является более фундаментальным, а расчет через высоту и плотность — удобным частным случаем для столба жидкости.