Номер 3, страница 195 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

3. Какую работу нужно затратить, чтобы запустить на орбиту вокруг Земли спутник массой 5 т, если он летит со скоростью 8 км/с на высоте 100 км? Чему равна механическая энергия спутника на орбите?

Дано:

Масса спутника, $m = 5 \text{ т}$

Скорость на орбите, $v = 8 \text{ км/с}$

Высота орбиты, $h = 100 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$m = 5 \times 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

$v = 8 \times 1000 \text{ м/с} = 8000 \text{ м/с}$

$h = 100 \times 1000 \text{ м} = 10^5 \text{ м}$

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли, $M_З \approx 6 \times 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Работу для запуска, $A - ?$

Механическую энергию на орбите, $E - ?$

Решение:

Решим задачу в два этапа. Сначала найдем полную механическую энергию спутника на орбите, а затем, зная ее, определим работу, которую необходимо было совершить для вывода спутника на эту орбиту.

Чему равна механическая энергия спутника на орбите?

Полная механическая энергия спутника на орбите $E$ складывается из его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$ в гравитационном поле Земли.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле на расстоянии $r$ от центра планеты определяется как:

$E_p = -G\frac{M_З m}{r}$

где $r$ — расстояние от центра Земли до спутника, равное сумме радиуса Земли и высоты орбиты: $r = R_З + h$.

Полная механическая энергия равна:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} - G\frac{M_З m}{R_З + h}$

Рассчитаем расстояние $r$:

$r = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 10^5 \text{ м} = 6.5 \times 10^6 \text{ м}$

Теперь вычислим значения энергий:

$E_k = \frac{5000 \text{ кг} \times (8000 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{5000 \times 64 \times 10^6}{2} = 1.6 \times 10^{11} \text{ Дж}$

$E_p = -6.67 \times 10^{-11} \frac{6 \times 10^{24} \text{ кг} \times 5000 \text{ кг}}{6.5 \times 10^6 \text{ м}} \approx -3.078 \times 10^{11} \text{ Дж}$

Полная механическая энергия на орбите:

$E = 1.6 \times 10^{11} \text{ Дж} - 3.078 \times 10^{11} \text{ Дж} = -1.478 \times 10^{11} \text{ Дж} \approx -148 \text{ ГДж}$

Ответ: Механическая энергия спутника на орбите равна примерно $-1.48 \times 10^{11}$ Дж (или $-148$ ГДж).

Какую работу нужно затратить, чтобы запустить на орбиту вокруг Земли спутник?

Работа $A$, которую необходимо затратить для запуска спутника, равна изменению его полной механической энергии. Начальное состояние — спутник покоится на поверхности Земли ($v_1 = 0$, $h_1 = 0$). Конечное состояние — спутник на орбите.

$A = E_{конечная} - E_{начальная}$

Начальная энергия спутника $E_{начальная}$ на поверхности Земли (пренебрегая вращением Земли) состоит только из потенциальной энергии, так как его скорость равна нулю:

$E_{начальная} = E_{p1} = -G\frac{M_З m}{R_З}$

$E_{начальная} = -6.67 \times 10^{-11} \frac{6 \times 10^{24} \text{ кг} \times 5000 \text{ кг}}{6.4 \times 10^6 \text{ м}} \approx -3.127 \times 10^{11} \text{ Дж}$

Конечная энергия $E_{конечная}$ — это полная механическая энергия спутника на орбите, которую мы уже вычислили:

$E_{конечная} = E \approx -1.478 \times 10^{11} \text{ Дж}$

Теперь можем найти работу:

$A = E_{конечная} - E_{начальная} = (-1.478 \times 10^{11} \text{ Дж}) - (-3.127 \times 10^{11} \text{ Дж}) = (3.127 - 1.478) \times 10^{11} \text{ Дж} = 1.649 \times 10^{11} \text{ Дж} \approx 165 \text{ ГДж}$

Ответ: Чтобы запустить спутник на орбиту, нужно затратить работу, равную примерно $1.65 \times 10^{11}$ Дж (или $165$ ГДж).