Дополнительное задание 2, страница 20 - гдз по физике 7 класс тетрадь для лабораторных работ Филонович, Петрова

Определение погрешности косвенного измерения объёма бруска

Нахождение объёма бруска по его линейным размерам — косвенное измерение. Определите погрешность этого измерения.

1. Считая, что абсолютная погрешность измерения длины ребра бруска равна цене деления шкалы линейки, запишите длины рёбер с учётом погрешности.

$a = \text{\_\_\_\_}$; $b = \text{\_\_\_\_}$; $c = \text{\_\_\_\_}$.

2. Найдите границы $V_{max}$ и $V_{min}$, в которых находится значение объёма бруска (поскольку объём определяется умножением, то максимальное/минимальное значение объёма получится, если взять для каждого множителя максимальное/минимальное значение).

$V_{max} = \text{\_\_\_\_}$.

$V_{min} = \text{\_\_\_\_}$.

3. Определите абсолютную погрешность измерения объёма. Для этого вычислите полуразность ($\Delta V = \frac{V_{max} - V_{min}}{2}$) найденных значений, результат округлите до одной значащей цифры (например: $3,72 \approx 4$).

$\Delta V = \text{\_\_\_\_}$.

4. Определите приближённое значение объёма. Для этого вычислите полусумму ($V = \frac{V_{max} + V_{min}}{2}$) найденных максимального и минимального значений. Результат округлите до того же разряда, которым заканчивается округлённое значение абсолютной погрешности. Запишите результат с учётом погрешности.

$V = \text{\_\_\_\_}$

5. Сравните полученный результат с результатом измерения объёма с помощью измерительного цилиндра, нанеся интервалы значений на числовую ось.

Сделайте вывод (Совпадают ли результаты в пределах погрешности измерений?)

Где на практике может понадобиться определять объёмы тел?

САМООЦЕНКА _________

Поскольку в задании не приведены конкретные численные значения, для демонстрации решения воспользуемся следующими примерными данными, которые могли бы быть получены в ходе реального лабораторного эксперимента.

Дано:

Измеренная длина бруска, $a_{изм} = 5.2 \text{ см}$

Измеренная ширина бруска, $b_{изм} = 3.5 \text{ см}$

Измеренная высота бруска, $c_{изм} = 2.1 \text{ см}$

Цена деления линейки, $ЦД = 1 \text{ мм}$

Абсолютная погрешность измерения длины принята равной цене деления: $Δl = ЦД$

Результат прямого измерения объёма с помощью измерительного цилиндра (гипотетический), $V_{цил} = (37 \pm 2) \text{ мл}$

Перевод в СИ:

В данной задаче для удобства вычислений целесообразно использовать внесистемные единицы: сантиметры (см) для длины и кубические сантиметры (см³) для объёма, так как они соразмерны измеряемым величинам. Переведём необходимые величины в эти единицы.

Абсолютная погрешность измерения длины: $Δl = 1 \text{ мм} = 0.1 \text{ см}$.

Объём, измеренный цилиндром: $V_{цил} = (37 \pm 2) \text{ мл} = (37 \pm 2) \text{ см}^3$, так как по определению $1 \text{ мл} = 1 \text{ см}^3$.

Найти:

1. Длины рёбер $a, b, c$ с учётом погрешности.

2. Границы $V_{max}$ и $V_{min}$.

3. Абсолютную погрешность $ΔV$.

4. Приближённое значение объёма $\text{V}$ с учётом погрешности.

5. Сравнить результаты косвенного и прямого измерений.

Решение:

1. Считая, что абсолютная погрешность измерения длины ребра бруска равна цене деления шкалы линейки, запишите длины рёбер с учётом погрешности.

Запись результата измерения физической величины $\text{X}$ имеет вид $X = X_{изм} \pm \Delta X$. Абсолютная погрешность измерения в нашем случае $Δl = 0.1 \text{ см}$.

$a = (5.2 \pm 0.1) \text{ см}$

$b = (3.5 \pm 0.1) \text{ см}$

$c = (2.1 \pm 0.1) \text{ см}$

Ответ: $a = (5.2 \pm 0.1) \text{ см}$; $b = (3.5 \pm 0.1) \text{ см}$; $c = (2.1 \pm 0.1) \text{ см}$.

2. Найдите границы V_max и V_min, в которых находится значение объёма бруска (поскольку объём определяется умножением, то максимальное/минимальное значение объёма получится, если взять для каждого множителя максимальное/минимальное значение).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Максимальное возможное значение объёма $V_{max}$ получим, перемножив максимальные значения длин сторон:

$a_{max} = 5.2 + 0.1 = 5.3 \text{ см}$

$b_{max} = 3.5 + 0.1 = 3.6 \text{ см}$

$c_{max} = 2.1 + 0.1 = 2.2 \text{ см}$

$V_{max} = a_{max} \cdot b_{max} \cdot c_{max} = 5.3 \cdot 3.6 \cdot 2.2 = 41.976 \text{ см}^3$

Минимальное возможное значение объёма $V_{min}$ получим, перемножив минимальные значения длин сторон:

$a_{min} = 5.2 - 0.1 = 5.1 \text{ см}$

$b_{min} = 3.5 - 0.1 = 3.4 \text{ см}$

$c_{min} = 2.1 - 0.1 = 2.0 \text{ см}$

$V_{min} = a_{min} \cdot b_{min} \cdot c_{min} = 5.1 \cdot 3.4 \cdot 2.0 = 34.68 \text{ см}^3$

Ответ: $V_{max} = 41.976 \text{ см}^3$; $V_{min} = 34.68 \text{ см}^3$.

3. Определите абсолютную погрешность измерения объёма. Для этого вычислите полуразность ($\Delta V = \frac{V_{max} - V_{min}}{2}$) найденных значений, результат округлите до одной значащей цифры (например: 3.72 ≈ 4).

Абсолютная погрешность косвенного измерения объёма $ΔV$ вычисляется как полуразность максимального и минимального значений:

$\Delta V = \frac{V_{max} - V_{min}}{2} = \frac{41.976 \text{ см}^3 - 34.68 \text{ см}^3}{2} = \frac{7.296 \text{ см}^3}{2} = 3.648 \text{ см}^3$

Согласно правилу, округляем полученное значение до одной значащей цифры:

$\Delta V \approx 4 \text{ см}^3$

Ответ: $\Delta V \approx 4 \text{ см}^3$.

4. Определите приближённое значение объёма. Для этого вычислите полусумму ($V = \frac{V_{max} + V_{min}}{2}$) найденных максимального и минимального значений. Результат округлите до того же разряда, которым заканчивается округлённое значение абсолютной погрешности. Запишите результат с учётом погрешности.

Наилучшее приближение для измеряемой величины - это середина интервала, которая находится как полусумма:

$V = \frac{V_{max} + V_{min}}{2} = \frac{41.976 \text{ см}^3 + 34.68 \text{ см}^3}{2} = \frac{76.656 \text{ см}^3}{2} = 38.328 \text{ см}^3$

Округлённое значение погрешности $ΔV \approx 4 \text{ см}^3$ имеет значащую цифру в разряде единиц. Следовательно, значение объёма $\text{V}$ необходимо округлить до того же разряда (до целых):

$V \approx 38 \text{ см}^3$

Итоговый результат измерения объёма записывается в виде $V_{изм} = V \pm \Delta V$.

Ответ: $V = (38 \pm 4) \text{ см}^3$.

5. Сравните полученный результат с результатом измерения объёма с помощью измерительного цилиндра, нанеся интервалы значений на числовую ось.

Результат косвенного измерения: $V_{косв} = (38 \pm 4) \text{ см}^3$. Этот результат означает, что истинное значение объёма находится в интервале от $(38 - 4) \text{ см}^3$ до $(38 + 4) \text{ см}^3$, то есть $V \in [34; 42] \text{ см}^3$.

Результат прямого измерения (гипотетический): $V_{цил} = (37 \pm 2) \text{ см}^3$. Этот результат означает, что истинное значение объёма находится в интервале от $(37 - 2) \text{ см}^3$ до $(37 + 2) \text{ см}^3$, то есть $V \in [35; 39] \text{ см}^3$.

Сравним эти два интервала. Интервал $[35; 39]$ полностью содержится внутри интервала $[34; 42]$. Это означает, что результаты двух измерений согласуются друг с другом в пределах погрешностей.

Ответ: Результаты, полученные косвенным $((38 \pm 4) \text{ см}^3)$ и прямым $((37 \pm 2) \text{ см}^3)$ методами, согласуются, так как их доверительные интервалы $[34; 42]$ и $[35; 39]$ пересекаются.

Сделайте вывод (Совпадают ли результаты в пределах погрешности измерений?)

Да, результаты измерений, полученные двумя различными способами (косвенным и прямым), совпадают в пределах погрешности. Доверительный интервал для прямого измерения $[35; 39] \text{ см}^3$ полностью лежит внутри доверительного интервала для косвенного измерения $[34; 42] \text{ см}^3$. Это подтверждает корректность проведенных измерений и расчётов. Косвенный метод в данном случае дал большую погрешность, что является ожидаемым, так как погрешности измерений трех длин суммируются.

Где на практике может понадобиться определять объёмы тел?

Определение объёмов тел является фундаментальной задачей, которая находит применение во многих сферах человеческой деятельности:

• Строительство: Расчёт необходимого количества бетона, кирпича, песка, щебня. Определение объёма помещений для систем отопления и вентиляции.

• Производство и инженерия: Контроль размеров и качества деталей. Проектирование ёмкостей, резервуаров, баков. Разработка упаковки для товаров.

• Логистика и транспорт: Расчёт объёма груза (кубатуры) для оптимального заполнения контейнеров, грузовиков, трюмов судов и самолётов, что напрямую влияет на стоимость перевозки.

• Наука (физика, химия): Определение плотности веществ ($ \rho = m/V $), проверка закона Архимеда, проведение химических реакций с точным соотношением реагентов.

• Пищевая промышленность и торговля: Дозировка жидких и сыпучих продуктов, измерение объёма напитков в таре.

• Медицина: Измерение объёма органов с помощью УЗИ или МРТ для диагностики, расчёт дозировки лекарственных препаратов.

САМООЦЕНКА

Работа по определению погрешности косвенного измерения объёма бруска выполнена полностью. Все шаги, описанные в задании, пройдены. Расчёты произведены с учётом правил обработки и округления погрешностей. Проведено сравнение результатов, полученных разными методами, и сделан обоснованный вывод об их согласованности. Даны развернутые ответы на теоретические вопросы. Уровень выполнения работы соответствует требованиям, что позволяет оценить её как успешную.