Дополнительное задание, страница 16 - гдз по физике 7 класс тетрадь для лабораторных работ Филонович, Петрова

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Определение погрешности взвешивания на рычажных весах

Абсолютную погрешность измерения массы при использовании рычажных весов мы считали равной массе наименьшего разно веса, выводящего весы из равновесия. Более точно — погрешность взвешивания $\Delta m$ складывается из трёх составляющих: 1) погрешности весов $\Delta m_{\text{в}}$, которая зависит от нагрузки; 2) суммарной погрешности всех гирь на весах $\Delta m_{\text{г}}$; 3) погрешности подбора гири $\Delta m_{\text{п. г}}$, которая аналогична погрешности отсчёта и равна половине значения массы наименьшей гири, выводящей весы из равновесия. Таким образом,

$$\Delta m = \Delta m_{\text{в}} + \Delta m_{\text{г}} + \Delta m_{\text{п. г}}$$

1. Считая, что график зависимости погрешности учебных весов от нагрузки имеет вид, показанный на рисунке, а погрешности гирь имеют значения, указанные в таблице, определите погрешность измерения массы для каждого из трёх тел.

$\Delta m_1 = \text{\_\_\_\_}.$

$\Delta m_2 = \text{\_\_\_\_}.$

$\Delta m_3 = \text{\_\_\_\_}.$

2. Запишите массу каждого тела с учётом погрешности.

$m_1 = \text{\_\_\_\_};$ $m_2 = \text{\_\_\_\_};$ $m_3 = \text{\_\_\_\_}.$

САМООЦЕНКА ___________

Поскольку в условии не приведены результаты взвешивания трёх тел, мы не можем однозначно определить, какие гири использовались для уравновешивания. Для демонстрации методики расчёта примем, что были взвешены три тела со следующими массами:

$m_1 = 37.56$ г

$m_2 = 81.22$ г

$m_3 = 165$ г

Абсолютная погрешность измерения массы $\Delta m$ складывается из трёх составляющих, согласно формуле:

$\Delta m = \Delta m_в + \Delta m_г + \Delta m_{п.г.}$

где:

$\Delta m_в$ — погрешность весов, зависящая от нагрузки $\text{m}$. Её мы определим по графику.

$\Delta m_г$ — суммарная погрешность всех гирь, использованных для взвешивания. Её мы определим, суммируя погрешности из таблицы.

$\Delta m_{п.г.}$ — погрешность подбора гири, равная половине массы наименьшей гири в наборе. Наименьшая гиря в наборе — 10 мг. Следовательно:

$\Delta m_{п.г.} = \frac{10 \text{ мг}}{2} = 5 \text{ мг}$

Определим зависимость погрешности весов $\Delta m_в$ от нагрузки $\text{m}$ по графику. График — прямая линия. Найдём её уравнение $\Delta m_в = k \cdot m + b$.

При $m = 0$ г, погрешность $b = 20$ мг.

При $m = 200$ г, погрешность $\Delta m_в = 100$ мг. Тогда коэффициент наклона $\text{k}$ равен:

$k = \frac{100 \text{ мг} - 20 \text{ мг}}{200 \text{ г} - 0 \text{ г}} = \frac{80 \text{ мг}}{200 \text{ г}} = 0.4 \frac{\text{мг}}{\text{г}}$

Таким образом, формула для расчёта погрешности весов:

$\Delta m_в(\text{мг}) = 0.4 \cdot m(\text{г}) + 20$

1. Теперь рассчитаем погрешность для каждого из трёх тел.

Для первого тела $m_1 = 37.56$ г:

Чтобы получить массу 37.56 г, могли быть использованы следующие гири: 20 г + 10 г + 5 г + 2 г + 500 мг + 50 мг + 10 мг.

1. Найдём погрешность весов $\Delta m_{в1}$:

$\Delta m_{в1} = 0.4 \cdot 37.56 + 20 = 15.024 + 20 = 35.024$ мг

2. Найдём суммарную погрешность гирь $\Delta m_{г1}$, сложив их погрешности из таблицы:

$\Delta m_{г1} = \Delta m(20 \text{ г}) + \Delta m(10 \text{ г}) + \Delta m(5 \text{ г}) + \Delta m(2 \text{ г}) + \Delta m(500 \text{ мг}) + \Delta m(50 \text{ мг}) + \Delta m(10 \text{ мг})$

$\Delta m_{г1} = 20 + 12 + 8 + 6 + 3 + 1 + 1 = 51$ мг

3. Найдём общую погрешность $\Delta m_1$:

$\Delta m_1 = \Delta m_{в1} + \Delta m_{г1} + \Delta m_{п.г.} = 35.024 + 51 + 5 = 91.024$ мг

Округлим до целого значения: $\Delta m_1 \approx 91$ мг.

Для второго тела $m_2 = 81.22$ г:

Чтобы получить массу 81.22 г, могли быть использованы гири: 50 г + 20 г + 10 г + 1 г + 200 мг + 20 мг.

1. Найдём погрешность весов $\Delta m_{в2}$:

$\Delta m_{в2} = 0.4 \cdot 81.22 + 20 = 32.488 + 20 = 52.488$ мг

2. Найдём суммарную погрешность гирь $\Delta m_{г2}$:

$\Delta m_{г2} = \Delta m(50 \text{ г}) + \Delta m(20 \text{ г}) + \Delta m(10 \text{ г}) + \Delta m(1 \text{ г}) + \Delta m(200 \text{ мг}) + \Delta m(20 \text{ мг})$

$\Delta m_{г2} = 30 + 20 + 12 + 4 + 2 + 1 = 69$ мг

3. Найдём общую погрешность $\Delta m_2$:

$\Delta m_2 = \Delta m_{в2} + \Delta m_{г2} + \Delta m_{п.г.} = 52.488 + 69 + 5 = 126.488$ мг

Округлим до целого значения: $\Delta m_2 \approx 126$ мг.

Для третьего тела $m_3 = 165$ г:

Чтобы получить массу 165 г, могли быть использованы гири: 100 г + 50 г + 10 г + 5 г.

1. Найдём погрешность весов $\Delta m_{в3}$:

$\Delta m_{в3} = 0.4 \cdot 165 + 20 = 66 + 20 = 86$ мг

2. Найдём суммарную погрешность гирь $\Delta m_{г3}$:

$\Delta m_{г3} = \Delta m(100 \text{ г}) + \Delta m(50 \text{ г}) + \Delta m(10 \text{ г}) + \Delta m(5 \text{ г})$

$\Delta m_{г3} = 40 + 30 + 12 + 8 = 90$ мг

3. Найдём общую погрешность $\Delta m_3$:

$\Delta m_3 = \Delta m_{в3} + \Delta m_{г3} + \Delta m_{п.г.} = 86 + 90 + 5 = 181$ мг

$\Delta m_1 = 91.024 \text{ мг} \approx 91 \text{ мг}$

$\Delta m_2 = 126.488 \text{ мг} \approx 126 \text{ мг}$

$\Delta m_3 = 181 \text{ мг}$

Ответ: $\Delta m_1 = 91$ мг; $\Delta m_2 = 126$ мг; $\Delta m_3 = 181$ мг. (Значения зависят от измеренной массы тел, которая не была дана в условии).

2. Запишем массу каждого тела с учётом погрешности. По правилам, погрешность округляют до одной-двух значащих цифр, а результат измерения округляют так, чтобы его последняя значащая цифра была того же разряда, что и у погрешности.

Для $m_1$: $\Delta m_1 = 91 \text{ мг} \approx 90 \text{ мг} = 0.09$ г. Тогда $m_1 = 37.56$ г округляем до сотых. $m_1 = (37.56 \pm 0.09)$ г.

Для $m_2$: $\Delta m_2 = 126 \text{ мг} \approx 130 \text{ мг} = 0.13$ г. Тогда $m_2 = 81.22$ г округляем до сотых. $m_2 = (81.22 \pm 0.13)$ г.

Для $m_3$: $\Delta m_3 = 181 \text{ мг} \approx 180 \text{ мг} = 0.18$ г. Тогда $m_3 = 165$ г нужно записать как $165.00$ г. $m_3 = (165.00 \pm 0.18)$ г.

Ответ: $m_1 = (37.56 \pm 0.09)$ г; $m_2 = (81.22 \pm 0.13)$ г; $m_3 = (165.00 \pm 0.18)$ г.