Номер 4, страница 70 - гдз по физике 7 класс контрольные и самостоятельные работы Громцева

Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Самостоятельные работы. СР-39. Плавание судов. Вариант № 1 - номер 4, страница 70.

Решение.

Дано

Длина бревна $L = 3,5$ м
Площадь сечения $S = 700$ см$^2$
Плотность дерева $\rho_{д} = 700$ кг/м$^3$
Плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг/м$^3$

Перевод в систему СИ:
$S = 700 \text{ см}^2 = 700 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 700 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,07 \text{ м}^2$

Найти:

Максимальную массу человека $m_{ч}$

Решение

Условие, при котором человек сможет стоять на бревне, не замочив ноги, означает, что бревно будет полностью погружено в воду, но не утонет. В этом предельном случае бревно находится в состоянии равновесия. Это значит, что суммарная сила тяжести, действующая на бревно и человека, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на полностью погруженное в воду бревно.

Условие равновесия можно записать в виде:

$F_{А} = F_{т.общ}$

где $F_{А}$ — сила Архимеда, а $F_{т.общ}$ — общая сила тяжести бревна и человека.

Общая сила тяжести равна сумме сил тяжести бревна ($F_{т.б}$) и человека ($F_{т.ч}$):

$F_{т.общ} = F_{т.б} + F_{т.ч} = m_{б}g + m_{ч}g = (m_{б} + m_{ч})g$

где $m_{б}$ — масса бревна, $m_{ч}$ — масса человека, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженное тело, равна весу вытесненной им жидкости:

$F_{А} = \rho_{в} g V_{б}$

где $V_{б}$ — объем бревна.

Приравняем силы:

$(\rho_{в} g V_{б} = (m_{б} + m_{ч})g)$

Сократим $\text{g}$:

$\rho_{в} V_{б} = m_{б} + m_{ч}$

Массу бревна можно выразить через его плотность и объем: $m_{б} = \rho_{д} V_{б}$.

Подставим это выражение в уравнение равновесия:

$\rho_{в} V_{б} = \rho_{д} V_{б} + m_{ч}$

Отсюда выразим массу человека $m_{ч}$:

$m_{ч} = \rho_{в} V_{б} - \rho_{д} V_{б} = (\rho_{в} - \rho_{д})V_{б}$

Объем бревна найдем как произведение его длины на площадь поперечного сечения:

$V_{б} = L \cdot S$

Подставим это в формулу для массы человека:

$m_{ч} = (\rho_{в} - \rho_{д}) \cdot L \cdot S$

Теперь подставим числовые значения:

$m_{ч} = (1000 \text{ кг/м}^3 - 700 \text{ кг/м}^3) \cdot 3,5 \text{ м} \cdot 0,07 \text{ м}^2$

$m_{ч} = 300 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,245 \text{ м}^3$

$m_{ч} = 73,5 \text{ кг}$

Ответ: максимальная масса человека, который сможет стоять на бревне, не замочив ноги, составляет 73,5 кг.