Номер 37.15, страница 139 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 37. Звуковые волны. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 37.15, страница 139.

37.15 [н] При нормальных условиях скорость звука в газах различна: в водороде — 1200 м/с, в гелии — 965 м/с, в азоте — 334 м/с, в кислороде — 316 м/с. Как объяснить это различие?

Дано:

Скорость звука в водороде $v_{H_2} = 1200$ м/с

Скорость звука в гелии $v_{He} = 965$ м/с

Скорость звука в азоте $v_{N_2} = 334$ м/с

Скорость звука в кислороде $v_{O_2} = 316$ м/с

Условия для всех газов нормальные.

Справочные данные (молярные массы):

Водород ($H_2$): $M_{H_2} \approx 2$ г/моль

Гелий ($He$): $M_{He} \approx 4$ г/моль

Азот ($N_2$): $M_{N_2} \approx 28$ г/моль

Кислород ($O_2$): $M_{O_2} \approx 32$ г/моль

Перевод в СИ:

$M_{H_2} \approx 0,002$ кг/моль

$M_{He} \approx 0,004$ кг/моль

$M_{N_2} \approx 0,028$ кг/моль

$M_{O_2} \approx 0,032$ кг/моль

Найти:

Объяснение различия в скоростях звука.

Решение:

Различие в скоростях звука в разных газах при одинаковых условиях объясняется на основе формулы для скорости звука в идеальном газе, известной как формула Лапласа:

$v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$

В этой формуле:

v — скорость звука,

$\gamma$ — показатель адиабаты (коэффициент Пуассона), который зависит от строения молекул газа (их атомности),

R — универсальная газовая постоянная,

T — абсолютная температура газа,

M — молярная масса газа.

По условию задачи все газы находятся при нормальных условиях, что означает, что их температура T одинакова. Величина R является константой. Следовательно, скорость звука v зависит только от двух характеристик, присущих самому газу: его показателя адиабаты $\gamma$ и молярной массы M. Зависимость имеет вид:

$v \propto \sqrt{\frac{\gamma}{M}}$

Проанализируем влияние этих двух факторов на примере указанных газов.

1. Молярная масса (M). Это главный фактор, определяющий различие в скоростях. Из формулы видно, что скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню из молярной массы. Это означает, что чем легче газ (чем меньше его молярная масса M), тем выше в нем скорость звука. Сравним молярные массы газов:

$M_{H_2} (0,002) < M_{He} (0,004) < M_{N_2} (0,028) < M_{O_2} (0,032)$ (в кг/моль).

Исходя из этого, следует ожидать, что скорости звука будут убывать в том же порядке: $v_{H_2} > v_{He} > v_{N_2} > v_{O_2}$. Приведенные в задаче данные (1200 м/с > 965 м/с > 334 м/с > 316 м/с) полностью подтверждают эту зависимость.

2. Показатель адиабаты ($\gamma$). Этот коэффициент также вносит свой вклад. Он зависит от количества степеней свободы молекул газа. Для одноатомных газов (таких как гелий) $\gamma = 5/3 \approx 1,67$. Для двухатомных газов (водород, азот, кислород) при нормальных условиях $\gamma = 7/5 = 1,4$. Скорость звука прямо пропорциональна квадратному корню из $\gamma$.

Более высокий показатель адиабаты у гелия ($\gamma \approx 1,67$) по сравнению с водородом ($\gamma = 1,4$) приводит к увеличению скорости звука в гелии. Однако влияние молярной массы оказывается сильнее: молярная масса водорода вдвое меньше, чем у гелия, что и делает скорость звука в водороде самой высокой.

Таким образом, сочетание этих двух факторов — молярной массы и показателя адиабаты — однозначно определяет скорость звука в газе при заданной температуре.

Ответ: Различие в скоростях звука в газах при одинаковых условиях (температуре) объясняется различием их физических свойств: молярной массы (M) и показателя адиабаты ($\gamma$). Согласно формуле $v = \sqrt{\gamma R T / M}$, скорость звука тем выше, чем меньше молярная масса газа и чем больше его показатель адиабаты. Водород имеет наименьшую молярную массу, поэтому скорость звука в нем наибольшая. Кислород имеет наибольшую молярную массу из перечисленных газов, что, соответственно, приводит к наименьшей скорости звука.