Номер 73.2, страница 248 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 73. Радиоактивный распад. Глава 10. Квантовые явления - номер 73.2, страница 248.

73.2 [1663] Какая доля радиоактивных ядер элемента распадается за время, равное периоду полураспада?

73.2 [1663]

Дано:

$t = T_{1/2}$

Найти:

$\frac{\Delta N}{N_0}$ — долю распавшихся ядер.

Решение:

Период полураспада ($T_{1/2}$) по определению — это промежуток времени, в течение которого количество радиоактивных ядер в образце уменьшается в два раза. Следовательно, за один период полураспада распадается ровно половина от исходного числа ядер.

Для формального подтверждения этого факта воспользуемся законом радиоактивного распада. Этот закон описывает количество нераспавшихся ядер $N(t)$ в момент времени $t$: $$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$$ где $N_0$ — начальное число радиоактивных ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

По условию задачи, рассматриваемый промежуток времени равен периоду полураспада, то есть $t = T_{1/2}$. Найдем количество ядер, которые еще не распались к этому моменту: $$N(T_{1/2}) = N_0 \cdot 2^{-\frac{T_{1/2}}{T_{1/2}}} = N_0 \cdot 2^{-1} = \frac{N_0}{2}$$

Таким образом, через время, равное одному периоду полураспада, останется половина от начального количества ядер.

Количество распавшихся ядер $\Delta N$ можно найти как разность между начальным количеством ядер $N_0$ и количеством оставшихся ядер $N(T_{1/2})$: $$\Delta N = N_0 - N(T_{1/2}) = N_0 - \frac{N_0}{2} = \frac{N_0}{2}$$

Доля распавшихся ядер — это отношение количества распавшихся ядер $\Delta N$ к начальному количеству ядер $N_0$: $$\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{\frac{N_0}{2}}{N_0} = \frac{1}{2}$$

Ответ: за время, равное периоду полураспада, распадается половина (1/2) радиоактивных ядер элемента.