Номер 73.5, страница 249 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 73. Радиоактивный распад. Глава 10. Квантовые явления - номер 73.5, страница 249.

73.5 [1665] Активность радиоактивного вещества уменьшилась в 4 раза за 8 дней. Чему равен период полураспада для этого вещества?

Дано:

Отношение начальной активности к конечной: $ \frac{A_0}{A} = 4 $

Время распада: $ t = 8 \text{ дней} $

$ t = 8 \text{ сут} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 691200 \text{ с} $

Найти:

Период полураспада: $ T_{1/2} $

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение активности $ A $ вещества со временем $ t $:

$$ A(t) = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

где $ A_0 $ — начальная активность, а $ T_{1/2} $ — период полураспада.

Из условия задачи известно, что за время $ t = 8 $ дней активность уменьшилась в 4 раза, то есть:

$$ A(t) = \frac{A_0}{4} $$

Приравняем правые части выражений для $ A(t) $:

$$ \frac{A_0}{4} = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Сократим обе части уравнения на $ A_0 $:

$$ \frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Представим дробь $ \frac{1}{4} $ в виде степени с основанием 2:

$$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $$

Теперь уравнение имеет вид:

$$ 2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$ -2 = -\frac{t}{T_{1/2}} $$

Отсюда следует, что:

$$ 2 = \frac{t}{T_{1/2}} $$

Выразим период полураспада $ T_{1/2} $:

$$ T_{1/2} = \frac{t}{2} $$

Подставим в полученную формулу значение времени $ t = 8 $ дней:

$$ T_{1/2} = \frac{8 \text{ дней}}{2} = 4 \text{ дня} $$

Также можно отметить, что уменьшение активности в 4 раза ($2 \cdot 2 = 2^2$) означает, что прошло ровно два периода полураспада. Если два периода полураспада заняли 8 дней, то один период полураспада равен $ 8 / 2 = 4 $ дня.

Ответ: период полураспада для этого вещества равен 4 дня.