Номер 1333, страница 146 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Световые явления. 49. Преломление света. Закон преломления света - номер 1333, страница 146.

Решение.

Определите, во сколько раз кажущаяся глубина озера меньше действительной, если смотреть вертикально вниз с лодки.

Дано:

$\text{H}$ - действительная глубина озера
$\text{h}$ - кажущаяся глубина озера
$n_1 = n_{воды} \approx 1,33$ - показатель преломления воды
$n_2 = n_{воздуха} \approx 1$ - показатель преломления воздуха
Наблюдение ведется вертикально вниз, что означает, что углы падения лучей от дна к поверхности малы.

Найти:

$\frac{H}{h}$ - отношение действительной глубины к кажущейся.

Решение:

Рассмотрим точку $\text{S}$ на дне озера на действительной глубине $\text{H}$. Лучи света, выходящие из этой точки, преломляются на границе раздела вода-воздух. Наблюдателю в лодке, смотрящему вертикально вниз, кажется, что лучи исходят из мнимого изображения точки $S'$, расположенного на кажущейся глубине $\text{h}$.

Пусть из точки $\text{S}$ выходит луч под малым углом падения $\alpha$ к нормали. Он попадает на поверхность воды в точке $\text{A}$. После преломления луч выходит в воздух под углом преломления $\beta$. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

Поскольку $n_1 = n_{воды}$ (обозначим как $\text{n}$) и $n_2 = n_{воздуха} \approx 1$, получаем:

$n \sin(\alpha) = \sin(\beta)$

Рассмотрим геометрию лучей. Пусть расстояние от точки падения луча $\text{A}$ до вертикали, проходящей через $\text{S}$, равно $\text{x}$. Тогда из прямоугольных треугольников, образованных лучами, нормалью и поверхностью воды, можно выразить тангенсы углов:

$\tan(\alpha) = \frac{x}{H}$

Кажущаяся глубина $\text{h}$ определяется точкой $S'$, где пересекается продолжение преломленного луча с вертикалью. Для этой точки имеем:

$\tan(\beta) = \frac{x}{h}$

Из этих двух выражений получаем:

$x = H \tan(\alpha) = h \tan(\beta)$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{H}{h} = \frac{\tan(\beta)}{\tan(\alpha)}$

Так как по условию наблюдение ведется почти вертикально, углы $\alpha$ и $\beta$ малы. Для малых углов (выраженных в радианах) справедливы приближения: $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ и $\sin(\beta) \approx \tan(\beta)$.

Подставим эти приближения в закон Снеллиуса:

$n \tan(\alpha) \approx \tan(\beta)$

Теперь подставим это соотношение в формулу для отношения глубин:

$\frac{H}{h} \approx \frac{n \tan(\alpha)}{\tan(\alpha)} = n$

Таким образом, кажущаяся глубина озера меньше действительной в $\text{n}$ раз, где $\text{n}$ – показатель преломления воды.

Ответ: Кажущаяся глубина озера меньше действительной в число раз, равное показателю преломления воды, то есть примерно в 1,33 раза.

Зависит ли кажущееся уменьшение глубины водоёма от угла, под которым мы смотрим на его поверхность?

Решение:

Да, зависит. Выведенная выше формула $\frac{H}{h} = n$ является приближенной и справедлива только для малых углов, то есть когда мы смотрим практически вертикально вниз.

В общем случае, без использования приближения для малых углов, соотношение между глубинами имеет вид:

$\frac{H}{h} = \frac{\tan(\beta)}{\tan(\alpha)}$

Из закона Снеллиуса $\sin(\beta) = n \sin(\alpha)$. Выразим $\tan(\beta)$ через $\alpha$:

$\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\sin(\beta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\beta)}} = \frac{n \sin(\alpha)}{\sqrt{1 - n^2 \sin^2(\alpha)}}$

Подставим это в соотношение глубин:

$\frac{H}{h} = \frac{1}{\tan(\alpha)} \cdot \frac{n \sin(\alpha)}{\sqrt{1 - n^2 \sin^2(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{n \sin(\alpha)}{\sqrt{1 - n^2 \sin^2(\alpha)}} = \frac{n \cos(\alpha)}{\sqrt{1 - n^2 \sin^2(\alpha)}}$

Эта точная формула показывает, что отношение действительной глубины к кажущейся, а следовательно, и кажущееся уменьшение глубины ($H-h$), зависит от угла падения лучей $\alpha$, который, в свою очередь, связан с углом, под которым ведется наблюдение.

При увеличении угла наблюдения (отклонении от вертикали) угол $\alpha$ растет, $\cos(\alpha)$ уменьшается, и знаменатель $\sqrt{1 - n^2 \sin^2(\alpha)}$ также уменьшается. В результате этого отношение $H/h$ изменяется, и кажущаяся глубина $\text{h}$ становится еще меньше.

Ответ: Да, кажущееся уменьшение глубины зависит от угла, под которым мы смотрим на поверхность. Чем больше этот угол (чем дальше от вертикали мы смотрим), тем меньше кажется глубина.