Номер 3, страница 166 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

Обсуди с товарищами. § 48. Плавание тел. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 3, страница 166.

3. Будет ли плавать в ртути стеклянная бутылка, заполненная ртутью?

Дано:

Плотность ртути: $\rho_{рт} \approx 13600 \frac{кг}{м^3}$

Плотность стекла: $\rho_{ст} \approx 2500 \frac{кг}{м^3}$

Данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Будет ли плавать в ртути стеклянная бутылка, заполненная ртутью?

Решение:

Условие плавания тела в жидкости заключается в том, что средняя плотность тела должна быть меньше плотности жидкости. В данном случае тело — это система, состоящая из стеклянной бутылки и ртути внутри нее. Жидкость, в которую погружают тело, — это тоже ртуть.

Чтобы определить, будет ли бутылка плавать, необходимо сравнить ее среднюю плотность $\rho_{ср}$ с плотностью ртути $\rho_{рт}$.

Средняя плотность $\rho_{ср}$ системы «бутылка + ртуть» определяется как отношение общей массы системы $m_{общ}$ к её общему внешнему объёму $V_{общ}$.

Введем обозначения:

• $V_{вн}$ — внутренний объём бутылки (объём ртути внутри);
• $V_{ст}$ — объём материала бутылки (стекла).

Общий объём бутылки, который она вытесняет при полном погружении, равен сумме объёма стекла и внутреннего объёма: $V_{общ} = V_{вн} + V_{ст}$

Общая масса системы складывается из массы ртути внутри $m_{рт.вн}$ и массы стекла $m_{ст}$: $m_{общ} = m_{рт.вн} + m_{ст}$

Выразим массы через плотности и объёмы: $m_{рт.вн} = \rho_{рт} \cdot V_{вн}$
$m_{ст} = \rho_{ст} \cdot V_{ст}$

Тогда формула для средней плотности системы: $\rho_{ср} = \frac{m_{общ}}{V_{общ}} = \frac{\rho_{рт}V_{вн} + \rho_{ст}V_{ст}}{V_{вн} + V_{ст}}$

Теперь сравним среднюю плотность системы $\rho_{ср}$ с плотностью окружающей жидкости $\rho_{рт}$. Из справочных данных известно, что плотность стекла значительно меньше плотности ртути: $\rho_{ст} < \rho_{рт}$

Поскольку $\rho_{ср}$ является средневзвешенным значением плотностей $\rho_{рт}$ и $\rho_{ст}$, а плотность стекла меньше плотности ртути, то и средняя плотность системы будет меньше плотности ртути (при условии, что объём стекла $V_{ст}$ больше нуля, что для бутылки очевидно).

Докажем это математически. Найдем разность $\rho_{ср} - \rho_{рт}$: $\rho_{ср} - \rho_{рт} = \frac{\rho_{рт}V_{вн} + \rho_{ст}V_{ст}}{V_{вн} + V_{ст}} - \rho_{рт} = \frac{\rho_{рт}V_{вн} + \rho_{ст}V_{ст} - \rho_{рт}(V_{вн} + V_{ст})}{V_{вн} + V_{ст}}$

$\rho_{ср} - \rho_{рт} = \frac{\rho_{рт}V_{вн} + \rho_{ст}V_{ст} - \rho_{рт}V_{вн} - \rho_{рт}V_{ст}}{V_{вн} + V_{ст}} = \frac{V_{ст}(\rho_{ст} - \rho_{рт})}{V_{вн} + V_{ст}}$

Знаменатель дроби $(V_{вн} + V_{ст})$ всегда положителен. Множитель $V_{ст}$ (объем стекла) также положителен. Разность $(\rho_{ст} - \rho_{рт})$ отрицательна, так как $2500 < 13600$. Следовательно, вся дробь отрицательна.

Это означает, что $\rho_{ср} - \rho_{рт} < 0$, или $\rho_{ср} < \rho_{рт}$.

Поскольку средняя плотность бутылки с ртутью меньше плотности окружающей ртути, бутылка будет плавать.

Ответ: Да, стеклянная бутылка, заполненная ртутью, будет плавать в ртути. Это происходит потому, что средняя плотность системы (стекло + ртуть внутри) меньше плотности окружающей ртути, так как плотность стекла меньше плотности ртути.