Ответьте на вопросы, страница 52 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопрос

Почему при расчете координаты тела по значению средней скорости получается неверный результат?

При расчете координаты тела по значению средней скорости получается неверный результат, потому что средняя скорость и мгновенная скорость — это разные физические величины, которые совпадают только в частном случае равномерного прямолинейного движения.

Различие между мгновенной и средней скоростью

Мгновенная скорость $v(t)$ — это скорость тела в конкретный момент времени $\text{t}$. Она характеризует движение «здесь и сейчас». Координата тела, движущегося с переменной скоростью, в любой момент времени $\text{t}$ определяется через интегрирование мгновенной скорости:

$x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(\tau) d\tau$

Средняя скорость $v_{ср}$ на некотором промежутке времени $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ — это величина, равная отношению всего перемещения $\Delta x = x_2 - x_1$ к этому промежутку времени:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

Средняя скорость — это такая постоянная скорость, с которой тело должно было бы двигаться, чтобы совершить то же самое перемещение за то же самое время. Она является усредненной характеристикой движения на всем интервале и не отражает, как именно менялась скорость внутри этого интервала.

Причина неверного результата

Формула для расчета координаты $x(t) = x_0 + v \cdot t$ справедлива только для равномерного движения, где скорость $\text{v}$ постоянна. В этом случае мгновенная скорость в любой момент времени равна средней скорости на любом промежутке времени.

Если же движение неравномерное (например, равноускоренное), мгновенная скорость $v(t)$ постоянно меняется. Если мы попытаемся использовать среднюю скорость $v_{ср}$, рассчитанную для всего интервала времени $[0, T]$, чтобы найти координату в какой-то промежуточный момент времени $\text{t}$ (где $0 < t < T$), мы, по сути, заменяем реальное движение с переменной скоростью на фиктивное равномерное движение. Это фиктивное движение дает верный результат (ту же конечную координату) только в конце интервала $\text{T}$.

Пример: Равноускоренное движение без начальной скорости ($x_0 = 0$, $v_0 = 0$).

Закон движения: $x(t) = \frac{at^2}{2}$.

Мгновенная скорость: $v(t) = at$.

Пусть мы рассматриваем движение в течение времени $\text{T}$. Конечная координата $x(T) = \frac{aT^2}{2}$.

Средняя скорость за это время: $v_{ср} = \frac{x(T) - x(0)}{T - 0} = \frac{aT^2/2}{T} = \frac{aT}{2}$.

Теперь попробуем рассчитать координату в момент времени $t = T/2$, используя среднюю скорость $v_{ср}$.

Неверный расчет:

$x_{неверно}(T/2) = v_{ср} \cdot (T/2) = (\frac{aT}{2}) \cdot (\frac{T}{2}) = \frac{aT^2}{4}$.

Верный расчет (по закону равноускоренного движения):

$x_{верно}(T/2) = \frac{a(T/2)^2}{2} = \frac{a(T^2/4)}{2} = \frac{aT^2}{8}$.

Как видно, $x_{неверно} \neq x_{верно}$. Ошибка возникла из-за того, что мы применили усредненную за все время $\text{T}$ скорость для расчета положения в момент $T/2$, проигнорировав тот факт, что на первой половине пути тело двигалось медленнее, чем на второй.

Ответ: Расчет координаты тела по значению средней скорости приводит к неверному результату для произвольного момента времени, так как он основан на предположении о равномерном движении с этой средней скоростью. В действительности, при неравномерном движении мгновенная скорость тела меняется, и простое умножение средней скорости (являющейся константой для всего интервала) на время дает правильную конечную координату только для конечного момента всего временного интервала, но не для промежуточных моментов времени.