Номер 3, страница 143 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

3. В сообщающиеся сосуды налиты ртуть, вода и керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды – 20 см и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом на 5 мм (рис. 132)?

Рис. 132. К домашнему упражнению

Дано:

Высота столба воды $h_в = 20$ см
Разность уровней ртути $\Delta h_р = 5$ мм
Плотность воды (справочное значение) $\rho_в = 1000$ кг/м³
Плотность керосина (справочное значение) $\rho_к = 800$ кг/м³
Плотность ртути (справочное значение) $\rho_р = 13600$ кг/м³

$h_в = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$\Delta h_р = 5 \text{ мм} = 0.005 \text{ м}$

Найти:

Высоту слоя керосина $h_к$.

Решение:

Задача решается с помощью закона о сообщающихся сосудах, который гласит, что в покоящейся однородной жидкости давление на одном и том же горизонтальном уровне одинаково. В данной задаче в U-образную трубку налиты три несмешивающиеся жидкости: ртуть, вода (в левом колене) и керосин (в правом колене).

Согласно условию, уровень ртути в правом колене ниже, чем в левом, на $\Delta h_р$. Это означает, что граница раздела "керосин-ртуть" находится ниже границы "вода-ртуть". Выберем в качестве опорного уровня самую нижнюю границу раздела жидкостей — границу между керосином и ртутью в правом колене.

Давление $P_{пр}$ на этом уровне в правом колене создается столбом керосина высотой $h_к$ и атмосферным давлением $P_{атм}$: $P_{пр} = P_{атм} + \rho_к g h_к$

Давление $P_{л}$ на этом же горизонтальном уровне в левом колене складывается из давления столба воды высотой $h_в$, давления столба ртути высотой $\Delta h_р$ (так как уровень ртути в левом колене выше) и атмосферного давления $P_{атм}$: $P_{л} = P_{атм} + \rho_в g h_в + \rho_р g \Delta h_р$

Поскольку давления на одном уровне равны ($P_{пр} = P_{л}$), мы можем приравнять правые части уравнений: $P_{атм} + \rho_к g h_к = P_{атм} + \rho_в g h_в + \rho_р g \Delta h_р$

Сократив в обеих частях уравнения атмосферное давление $P_{атм}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$, получим: $\rho_к h_к = \rho_в h_в + \rho_р \Delta h_р$

Из этого соотношения выразим искомую высоту столба керосина $h_к$: $h_к = \frac{\rho_в h_в + \rho_р \Delta h_р}{\rho_к}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ: $h_к = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.2 \text{ м} + 13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.005 \text{ м}}{800 \text{ кг/м}^3}$ $h_к = \frac{200 + 68}{800} \text{ м}$ $h_к = \frac{268}{800} \text{ м} = 0.335 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры: $0.335 \text{ м} = 33.5 \text{ см}$.

Ответ: высота слоя керосина равна 33.5 см.