Номер 3, страница 212 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

3. На концы рычага действуют силы $2 \text{ Н}$ и $18 \text{ Н}$. Длина рычага – $1 \text{ м}$. Где находится точка опоры, если рычаг в равновесии?

Дано:

Сила, действующая на один конец рычага, $F_1 = 2$ Н

Сила, действующая на другой конец рычага, $F_2 = 18$ Н

Длина рычага, $L = 1$ м

Все данные предоставлены в системе СИ, поэтому перевод единиц не требуется.

Найти:

Положение точки опоры (плечи сил $d_1$ и $d_2$).

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в состоянии равновесия, согласно правилу моментов, момент силы, вращающий рычаг в одном направлении, должен быть равен моменту силы, вращающему его в противоположном направлении. Если точка опоры находится между точками приложения сил, то условие равновесия выглядит так:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ и $M_2$ — моменты сил $F_1$ и $F_2$ соответственно.

Момент силы вычисляется как произведение модуля силы на её плечо (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы):

$M_1 = F_1 \cdot d_1$

$M_2 = F_2 \cdot d_2$

Здесь $d_1$ — плечо силы $F_1$, а $d_2$ — плечо силы $F_2$.

Таким образом, условие равновесия можно записать в виде:

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$

Поскольку силы приложены к концам рычага, а точка опоры находится между ними, сумма длин плеч равна общей длине рычага:

$d_1 + d_2 = L$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $d_1$ и $d_2$:

$\begin{cases} F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \\ d_1 + d_2 = L \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $d_2$:

$d_2 = L - d_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot (L - d_1)$

Теперь решим это уравнение относительно $d_1$. Раскроем скобки:

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot L - F_2 \cdot d_1$

Перенесем слагаемое с $d_1$ в левую часть:

$F_1 \cdot d_1 + F_2 \cdot d_1 = F_2 \cdot L$

Вынесем $d_1$ за скобки:

$d_1(F_1 + F_2) = F_2 \cdot L$

Отсюда находим $d_1$:

$d_1 = \frac{F_2 \cdot L}{F_1 + F_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$d_1 = \frac{18 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м}}{2 \text{ Н} + 18 \text{ Н}} = \frac{18}{20} \text{ м} = 0,9 \text{ м}$

Это расстояние от точки опоры до точки приложения меньшей силы $F_1 = 2$ Н.

Теперь найдем длину второго плеча $d_2$:

$d_2 = L - d_1 = 1 \text{ м} - 0,9 \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Это расстояние от точки опоры до точки приложения большей силы $F_2 = 18$ Н.

Проверка: $F_1 \cdot d_1 = 2 \text{ Н} \cdot 0,9 \text{ м} = 1,8 \text{ Н} \cdot \text{м}$. $F_2 \cdot d_2 = 18 \text{ Н} \cdot 0,1 \text{ м} = 1,8 \text{ Н} \cdot \text{м}$. Моменты равны, значит, решение верное.

Ответ: точка опоры находится на расстоянии 0,9 м от конца, к которому приложена сила 2 Н, и на расстоянии 0,1 м от конца, к которому приложена сила 18 Н.