Страница 181 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Центр вписанной окружности треугольника – это точка пересечения:

А) высот треугольника

Б) медиан треугольника

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника

Г) биссектрис треугольника

Для ответа на данный вопрос необходимо вспомнить определение центра вписанной окружности и свойства "замечательных точек" треугольника.

Вписанная в треугольник окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон этого треугольника. Ее центр, называемый инцентром, по определению равноудален от всех трех сторон треугольника.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в нашем случае, от двух сторон, образующих угол треугольника), является биссектрисой этого угла.

Поскольку центр вписанной окружности должен быть равноудален от всех трех сторон, он должен лежать на биссектрисе каждого из трех углов треугольника. Следовательно, инцентр — это точка, в которой пересекаются все три биссектрисы треугольника.

Рассмотрим предложенные варианты:

А) высот треугольника
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Это не является центром вписанной окружности.

Б) медиан треугольника
Точка пересечения медиан называется центроидом или центром масс треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Это не является центром вписанной окружности.

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника
Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности (т.е. окружности, проходящей через все три вершины треугольника), так как эта точка равноудалена от вершин.

Г) биссектрис треугольника
Как было установлено выше, точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон, что и делает ее центром вписанной окружности. Этот вариант является правильным.

Ответ: Г) биссектрис треугольника

9. Центр вписанной окружности треугольника – это точка пересечения

А) высот треугольника

Б) медиан треугольника

В) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Г) биссектрис треугольника

10. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника сов-падают в:

А) равнобедренном треугольнике

Б) равностороннем треугольнике

В) прямоугольном треугольнике

Г) разностороннем треугольнике

Чтобы ответить на вопрос, необходимо определить, для какого типа треугольника точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров (центром описанной окружности). Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике, который не является равносторонним, центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной прямой — оси симметрии треугольника (которая является высотой, медианой и биссектрисой, проведенной к основанию). Однако сами точки не совпадают. Следовательно, этот вариант не является правильным в общем случае.

Б) равностороннем треугольнике

В равностороннем (правильном) треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. Благодаря высокой симметрии, каждая биссектриса угла одновременно является медианой, высотой и серединным перпендикуляром к противоположной стороне. Поскольку центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, то в равностороннем треугольнике эти точки пересечения совпадают. Это уникальное свойство равностороннего треугольника.

В) прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда расположен в середине гипотенузы. Центр же вписанной окружности всегда находится внутри треугольника. Так как точка на гипотенузе не может быть той же точкой, что и внутри треугольника (за исключением вырожденного случая), их центры не совпадают.

Г) разностороннем треугольнике

В общем случае для разностороннего треугольника, у которого все стороны имеют разную длину, центры вписанной и описанной окружностей находятся в разных точках.

Таким образом, единственным видом треугольника, в котором центры вписанной и описанной окружностей всегда совпадают, является равносторонний треугольник.

Ответ: Б

10. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают в

А) равнобедренном треугольнике

Б) равностороннем треугольнике

В) прямоугольном треугольнике

Г) разностороннем треугольнике

11. При решении задач на построение используют инструменты:

А) циркуль, транспортир, линейку

Б) линейку, угольник

В) линейку, угольник, циркуль, транспортир

Г) циркуль, линейку

11.

В классической геометрии под "задачами на построение" понимают задачи, которые по определению решаются с помощью только двух инструментов: циркуля и линейки без делений. Линейка используется для проведения прямых линий через две заданные точки, а циркуль — для проведения окружностей и откладывания отрезков.

Рассмотрим предложенные варианты, чтобы определить, какой из них соответствует этому классическому определению:

А) циркуль, транспортир, линейку — Неверный вариант. Транспортир — это инструмент для измерения и построения углов заданной величины, который не допускается в классических построениях.

Б) линейку, угольник — Неверный вариант. Угольник позволяет строить фиксированные углы (например, 90°), что является частным случаем, выходящим за рамки стандартных инструментов. К тому же, в этом наборе отсутствует циркуль, без которого невозможно выполнить большинство построений.

В) линейку, угольник, циркуль, транспортир — Неверный вариант, так как он включает в себя инструменты, не используемые в классических построениях (угольник и транспортир).

Г) циркуль, линейку — Это правильный вариант. Именно циркуль и линейка (без делений) являются единственными инструментами, разрешенными для решения задач на построение в евклидовой геометрии.

Ответ: Г

11. При решении задач на построение используют инструменты:

А) циркуль, транспортир, линейку

Б) линейку, угольник

В) линейку, угольник, циркуль, транспортир

Г) циркуль, линейку