Страница 180 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько точек содержит геометрическое место точек, равноудалённых от данных?

А) бесконечно много

В) одну

Б) две

Г) ни одной

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек $X$, таких что расстояние от $X$ до $A$, $B$ и $C$ одинаково, то есть выполняется равенство $XA = XB = XC$.

Рассмотрим это условие по частям.

1. Условие $XA = XB$ означает, что точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ как прямую $l_1$.

2. Аналогично, условие $XB = XC$ означает, что точка $X$ равноудалена от точек $B$ и $C$. Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Обозначим его как прямую $l_2$.

Точка $X$, удовлетворяющая обоим условиям, должна лежать на пересечении прямых $l_1$ и $l_2$.

Поскольку по условию задачи точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, то прямые, содержащие отрезки $AB$ и $BC$, не параллельны. Следовательно, их серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ также не параллельны и пересекаются ровно в одной точке.

Эта единственная точка пересечения и есть искомая точка. Она является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. По определению, эта точка равноудалена от всех трёх вершин треугольника ($A$, $B$ и $C$), поэтому для нее также выполняется и третье равенство $XA = XC$.

Таким образом, существует только одна точка, равноудалённая от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой.

Ответ: В) одну

1. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько точек содержит геометрическое место точек, равноудалённых от данных?

А) бесконечно много

Б) две

В) одну

Г) ни одной

2. Даны три точки, лежащие на одной прямой. Сколько точек содержит геометрическое место точек, равноудалённых от данных?

А) одну

Б) две

В) бесконечно много

Г) ни одной

Пусть на одной прямой лежат три различные точки $A$, $B$ и $C$. Мы ищем геометрическое место точек $M$, для которых выполняется условие равенства расстояний до этих трех точек:

$MA = MB = MC$

Рассмотрим это условие по частям.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек $A$ и $B$ (то есть точек $M$, для которых $MA = MB$), представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Назовем эту прямую $l_1$.

2. Аналогично, геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек $B$ и $C$ (то есть точек $M$, для которых $MB = MC$), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Назовем эту прямую $l_2$.

Точка $M$, равноудаленная от всех трех точек $A$, $B$ и $C$, должна принадлежать одновременно обоим этим геометрическим местам, то есть она должна быть точкой пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.

По условию, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $L$.

- Прямая $l_1$ (серединный перпендикуляр к $AB$) по определению перпендикулярна прямой $L$.

- Прямая $l_2$ (серединный перпендикуляр к $BC$) также по определению перпендикулярна прямой $L$.

В евклидовой геометрии на плоскости две прямые ($l_1$ и $l_2$), перпендикулярные третьей прямой ($L$), параллельны между собой.

Параллельные прямые могут либо не пересекаться (если они различны), либо совпадать (иметь бесконечно много общих точек).

- Прямая $l_1$ проходит через середину отрезка $AB$.

- Прямая $l_2$ проходит через середину отрезка $BC$.

Так как точки $A$, $B$ и $C$ различны, середины отрезков $AB$ и $BC$ также являются различными точками. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ — это две различные параллельные прямые.

Различные параллельные прямые не имеют точек пересечения. Это означает, что не существует ни одной точки $M$, которая была бы равноудалена от трех различных точек, лежащих на одной прямой.

Альтернативное рассуждение: точка, равноудаленная от трех точек, является центром окружности, проходящей через эти три точки. Однако через три точки, лежащие на одной прямой, невозможно провести окружность, так как любая окружность может пересекать прямую не более чем в двух точках.

Таким образом, искомое геометрическое место точек является пустым множеством.

Ответ: Г) ни одной

2. Даны три точки, лежащие на одной прямой. Сколько точек содержит геометрическое место точек, равноудалённых от данных?

А) одну

Б) две

В) бесконечно много

Г) ни одной

3. Сколько точек содержит геометрическое место точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон и вершины?

А) одну

Б) две

В) бесконечно много

Г) ни одной

Для решения этой задачи необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих двум условиям: они должны быть равноудалены от сторон угла и, одновременно, от его вершины.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в данном случае, от сторон угла), представляет собой пару биссектрис этих углов. Поскольку искомые точки должны принадлежать углу, мы рассматриваем только биссектрису данного угла — луч, выходящий из вершины и делящий угол пополам.

2. Теперь найдем на этой биссектрисе точки, которые равноудалены от вершины угла. Пусть вершина угла находится в точке $O$, а $P$ — произвольная точка на биссектрисе. Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на одну из сторон угла. Расстояние от точки $P$ до этой стороны равно длине отрезка $PM$. Расстояние от точки $P$ до вершины угла равно длине отрезка $OP$.

По условию задачи, эти расстояния должны быть равны: $OP = PM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMP$. Он является прямоугольным, поскольку $PM$ — это перпендикуляр к стороне угла, то есть $\angle OMP = 90^\circ$. В этом треугольнике $OP$ — гипотенуза, а $PM$ — катет.

В любом невырожденном прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда строго больше длины любого из катетов ($OP > PM$). Равенство $OP = PM$ возможно только в одном случае: когда треугольник $\triangle OMP$ вырожден, то есть все его вершины совпадают. Это означает, что точка $P$ должна совпадать с вершиной $O$. В этом случае расстояние до вершины равно $0$, и расстояние до сторон также равно $0$.

Таким образом, единственная точка, удовлетворяющая всем условиям задачи, — это вершина угла.

Исключением является развернутый угол ($180^\circ$), для которого таких точек бесконечно много. Однако, так как в вариантах ответа присутствует однозначный выбор, предполагается рассмотрение общего, неразвернутого случая.

Ответ: А) одну

3. Сколько точек содержит геометрическое место точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон и вершины?

А) 1

Б) 2

В) бесконечно много

Г) ни одной

4. Точка X принадлежит окружности с центром O радиуса R. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $OX \le R$

Б) $OX \ge R$

В) $OX < R$

Г) $OX = R$

По определению, окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). В условии задачи сказано, что точка X принадлежит окружности с центром O и радиусом R. Это означает, что расстояние от центра O до точки X в точности равно радиусу R. Математически это записывается как $OX = R$.

Проанализируем каждое из предложенных утверждений:

А) $OX \leq R$. Это утверждение означает, что расстояние $OX$ меньше или равно радиусу $R$. Поскольку для точки на окружности выполняется равенство $OX = R$, то нестрогое неравенство $OX \leq R$ также является верным.

Б) $OX \geq R$. Это утверждение означает, что расстояние $OX$ больше или равно радиусу $R$. Так как $OX = R$, условие равенства в этом нестрогом неравенстве выполняется, следовательно, утверждение является верным.

В) $OX < R$. Это утверждение означает, что расстояние $OX$ строго меньше радиуса $R$. Данное условие выполняется для точек, которые лежат внутри круга, ограниченного окружностью, но не на самой окружности. Поскольку точка X по условию принадлежит окружности, для нее выполняется равенство $OX = R$, а не строгое неравенство. Следовательно, это утверждение неверно.

Г) $OX = R$. Это утверждение является точным математическим выражением того факта, что точка X лежит на окружности с центром O и радиусом R. Следовательно, это утверждение верно.

Вопрос задачи — найти неверное утверждение. Исходя из анализа, единственным неверным утверждением является В.

Ответ: В.

4. Точка X принадлежит окружности с центром O радиуса R. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $OX \le R$

Б) $OX \ge R$

В) $OX < R$

Г) $OX = R$

5. Прямая имеет две общие точки с окружностью с центром $O$ радиуса $R$. Какую фигуру образуют все точки $X$ данной прямой такие, что $OX \ge R$?

А) отрезок

Б) два луча

В) луч

Г) прямую

Пусть данная прямая $l$ пересекает окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ в двух точках, которые мы обозначим как $A$ и $B$.

Поскольку точки $A$ и $B$ являются точками пересечения прямой и окружности, они лежат на окружности. Следовательно, расстояние от центра $O$ до этих точек равно радиусу: $OA = R$ и $OB = R$.

Все точки $X$ на прямой $l$ можно разделить на три группы:

1. Точки, лежащие на отрезке $AB$. Этот отрезок является хордой окружности. Для любой точки $X$, находящейся строго между $A$ и $B$, расстояние до центра $O$ будет меньше радиуса ($OX < R$), так как эти точки лежат внутри круга.
2. Точки $A$ и $B$, для которых $OX = R$.
3. Точки на прямой, не принадлежащие отрезку $AB$. Эти точки лежат вне круга, и для них расстояние до центра $O$ будет больше радиуса ($OX > R$).

В задаче требуется найти фигуру, которую образуют все точки $X$ данной прямой, для которых выполняется условие $OX \ge R$. Это условие объединяет точки, для которых $OX = R$ (это точки $A$ и $B$) и точки, для которых $OX > R$ (это все точки прямой вне отрезка $AB$).

Совокупность точек $A$ и всех точек прямой за ней (в сторону от $B$) образует луч с началом в точке $A$. Аналогично, совокупность точек $B$ и всех точек прямой за ней (в сторону от $A$) образует луч с началом в точке $B$. Таким образом, искомая фигура — это объединение двух лучей.

Проанализируем предложенные варианты ответа:

А) отрезок
Неверно. Точки отрезка $AB$ (за исключением его концов $A$ и $B$) удовлетворяют противоположному условию $OX < R$.

Б) два луча
Верно. Как было показано выше, множество точек, удовлетворяющих условию $OX \ge R$, представляет собой два луча, начинающихся в точках пересечения прямой с окружностью и направленных вовне.

В) луч
Неверно. Так как прямая бесконечна в обе стороны, а окружность имеет конечные размеры, будет два таких луча, по одному с каждой стороны от отрезка $AB$.

Г) прямую
Неверно. Точки, лежащие внутри окружности на отрезке $AB$, не удовлетворяют условию $OX \ge R$.

Ответ: Б

5. Прямая имеет две общие точки с окружностью с центром O радиуса R. Какую фигуру образуют все точки X данной прямой такие, что $OX \ge R$?

А) отрезок

Б) два луча

В) луч

Г) прямую

6. На рисунке изображена прямая $a$, касающаяся окружности с центром $O$ в точке $A$. На окружности отметили точку $B$, $X$ — произвольная точка прямой $a$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $OX > OB$

В) $OX \ge OB$

Б) $OX \ge OA$

Г) $OA = OB$

Для решения задачи проанализируем каждое из предложенных утверждений.

Г) $OA = OB$

По условию, точки A и B лежат на окружности с центром в точке O. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности. По определению окружности, все ее радиусы равны между собой. Следовательно, утверждение $OA = OB$ является верным.

Ответ: верно.

Б) $OX \ge OA$

Прямая $a$ касается окружности в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что $OA \perp a$. Таким образом, отрезок $OA$ является перпендикуляром, опущенным из точки O на прямую $a$. Отрезок $OX$ соединяет точку O с произвольной точкой X на прямой $a$. В прямоугольном треугольнике $OAX$ (с прямым углом при A, если $X \ne A$), $OX$ является гипотенузой, а $OA$ — катетом. Гипотенуза всегда длиннее катета. Если точка X совпадает с точкой A, то $OX = OA$. Таким образом, для любой точки X на прямой $a$ выполняется неравенство $OX \ge OA$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

В) $OX \ge OB$

Мы уже установили верность двух утверждений: $OX \ge OA$ (из пункта Б) и $OA = OB$ (из пункта Г). Если мы заменим в первом неравенстве $OA$ на равный ему отрезок $OB$, то получим $OX \ge OB$. Следовательно, это утверждение также является верным.

Ответ: верно.

А) $OX > OB$

Это утверждение говорит о том, что $OX$ всегда строго больше $OB$. Однако, как мы выяснили при анализе утверждения Б, если точка X совпадает с точкой касания A, то $OX = OA$. А так как $OA = OB$, то в этом случае $OX = OB$. Поскольку существует случай, когда достигается равенство, утверждение о строгом неравенстве ($OX > OB$) для произвольной точки X является неверным.

Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является утверждение А).

6. На рисунке изображена прямая $a$, касающаяся окружности с центром $O$ в точке $A$. На окружности отметили точку $B$, $X$ – произвольная точка прямой $a$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $OX > OB$

В) $OX \ge OB$

Б) $OX \ge OA$

Г) $OA = OB$

7. Какое утверждение верно?

А) если две хорды перпендикулярны, то одна из них является диаметром

Б) если две хорды точкой пересечения делятся пополам, то они перпендикулярны

В) если касательная, проведённая через конец хорды, перпендикулярна ей, то эта хорда – диаметр

Г) если одна из хорд делит другую пополам, то эта хорда – диаметр

А) если две хорды перпендикулярны, то одна из них является диаметром

Это утверждение неверно. Можно легко представить две перпендикулярные хорды, ни одна из которых не проходит через центр окружности. Например, можно нарисовать их в любой части круга, вдали от центра. Следовательно, перпендикулярность хорд не означает, что одна из них является диаметром.
Ответ: утверждение неверно.

Б) если две хорды точкой пересечения делятся пополам, то они перпендикулярны

Это утверждение неверно. Если две хорды делятся точкой пересечения пополам, то эта точка является центром окружности, а сами хорды — диаметрами. Два диаметра могут пересекаться под любым углом, не обязательно прямым. Таким образом, из того, что хорды делят друг друга пополам, не следует их перпендикулярность.
Ответ: утверждение неверно.

В) если касательная, проведённая через конец хорды, перпендикулярна ей, то эта хорда – диаметр

Это утверждение верно. Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Пусть $AB$ — хорда, а $t$ — касательная в точке $A$. По условию, хорда перпендикулярна касательной: $AB \perp t$. Радиус $OA$ (где $O$ — центр окружности) также перпендикулярен касательной $t$. Так как через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр, хорда $AB$ должна лежать на той же прямой, что и радиус $OA$. Это означает, что хорда $AB$ проходит через центр $O$, то есть является диаметром.
Ответ: утверждение верно.

Г) если одна из хорд делит другую пополам, то эта хорда – диаметр

Это утверждение неверно. Утверждение было бы верным, если бы хорда, делящая другую пополам, была бы ей перпендикулярна (так как серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности). В общем случае это не так. Можно взять любую хорду, не являющуюся диаметром, отметить её середину и провести через эту точку другую хорду, которая также не является диаметром. Эта вторая хорда делит первую пополам, но сама не является диаметром.
Ответ: утверждение неверно.

7. Какое утверждение верно?

А) если две хорды перпендикулярны, то одна из них является диаметром

Б) если две хорды точкой пересечения делятся пополам, то они перпендикулярны

В) если касательная, проведённая через конец хорды, перпендикулярна ей, то эта хорда – диаметр

Г) если одна из хорд делит другую пополам, то эта хорда – диаметр

8. Центр описанной окружности треугольника – это точка пересечения:

А) высот треугольника

Б) медиан треугольника

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника

Г) биссектрис треугольника

Центр описанной окружности треугольника — это точка, равноудаленная от всех трех вершин этого треугольника. Пусть дан треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$. Центр $O$ описанной около него окружности должен удовлетворять условию $OA = OB = OC$, где $OA$, $OB$, $OC$ — радиусы описанной окружности.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов, чтобы определить, какой из них соответствует этому определению.

А) высот треугольника. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. В общем случае ортоцентр не является равноудаленным от вершин треугольника. Например, в прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном находится вне треугольника, в то время как центр описанной окружности всегда равноудален от вершин. Следовательно, этот вариант неверный.

Б) медиан треугольника. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс. Эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Она не является равноудаленной от вершин в общем случае (исключение составляет равносторонний треугольник, где все замечательные точки совпадают). Следовательно, этот вариант неверный.

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Поскольку центр описанной окружности $O$ должен быть равноудален от вершин $A$ и $B$ ($OA=OB$), он обязан лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Аналогично, из условия $OB=OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Это утверждение является точным определением центра описанной окружности. Следовательно, этот вариант верный.

Г) биссектрис треугольника. Точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром вписанной окружности. Эта точка равноудалена от сторон треугольника, а не от его вершин. Следовательно, этот вариант неверный.

Ответ: В

8. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения

А) высот треугольника

Б) медиан треугольника

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника

Г) биссектрис треугольника