Номер 7, страница 180 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 7, страница 180.

7. Какое утверждение верно?

А) если две хорды перпендикулярны, то одна из них является диаметром

Б) если две хорды точкой пересечения делятся пополам, то они перпендикулярны

В) если касательная, проведённая через конец хорды, перпендикулярна ей, то эта хорда – диаметр

Г) если одна из хорд делит другую пополам, то эта хорда – диаметр

А) если две хорды перпендикулярны, то одна из них является диаметром

Это утверждение неверно. Можно легко представить две перпендикулярные хорды, ни одна из которых не проходит через центр окружности. Например, можно нарисовать их в любой части круга, вдали от центра. Следовательно, перпендикулярность хорд не означает, что одна из них является диаметром.
Ответ: утверждение неверно.

Б) если две хорды точкой пересечения делятся пополам, то они перпендикулярны

Это утверждение неверно. Если две хорды делятся точкой пересечения пополам, то эта точка является центром окружности, а сами хорды — диаметрами. Два диаметра могут пересекаться под любым углом, не обязательно прямым. Таким образом, из того, что хорды делят друг друга пополам, не следует их перпендикулярность.
Ответ: утверждение неверно.

В) если касательная, проведённая через конец хорды, перпендикулярна ей, то эта хорда – диаметр

Это утверждение верно. Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Пусть $AB$ — хорда, а $t$ — касательная в точке $A$. По условию, хорда перпендикулярна касательной: $AB \perp t$. Радиус $OA$ (где $O$ — центр окружности) также перпендикулярен касательной $t$. Так как через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр, хорда $AB$ должна лежать на той же прямой, что и радиус $OA$. Это означает, что хорда $AB$ проходит через центр $O$, то есть является диаметром.
Ответ: утверждение верно.

Г) если одна из хорд делит другую пополам, то эта хорда – диаметр

Это утверждение неверно. Утверждение было бы верным, если бы хорда, делящая другую пополам, была бы ей перпендикулярна (так как серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности). В общем случае это не так. Можно взять любую хорду, не являющуюся диаметром, отметить её середину и провести через эту точку другую хорду, которая также не является диаметром. Эта вторая хорда делит первую пополам, но сама не является диаметром.
Ответ: утверждение неверно.

7. Какое утверждение верно?

А) если две хорды перпендикулярны, то одна из них является диаметром

Б) если две хорды точкой пересечения делятся пополам, то они перпендикулярны

В) если касательная, проведённая через конец хорды, перпендикулярна ей, то эта хорда – диаметр

Г) если одна из хорд делит другую пополам, то эта хорда – диаметр