Номер 6, страница 180 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 6, страница 180.

6. На рисунке изображена прямая $a$, касающаяся окружности с центром $O$ в точке $A$. На окружности отметили точку $B$, $X$ — произвольная точка прямой $a$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $OX > OB$

В) $OX \ge OB$

Б) $OX \ge OA$

Г) $OA = OB$

Для решения задачи проанализируем каждое из предложенных утверждений.

Г) $OA = OB$

По условию, точки A и B лежат на окружности с центром в точке O. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности. По определению окружности, все ее радиусы равны между собой. Следовательно, утверждение $OA = OB$ является верным.

Ответ: верно.

Б) $OX \ge OA$

Прямая $a$ касается окружности в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что $OA \perp a$. Таким образом, отрезок $OA$ является перпендикуляром, опущенным из точки O на прямую $a$. Отрезок $OX$ соединяет точку O с произвольной точкой X на прямой $a$. В прямоугольном треугольнике $OAX$ (с прямым углом при A, если $X \ne A$), $OX$ является гипотенузой, а $OA$ — катетом. Гипотенуза всегда длиннее катета. Если точка X совпадает с точкой A, то $OX = OA$. Таким образом, для любой точки X на прямой $a$ выполняется неравенство $OX \ge OA$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

В) $OX \ge OB$

Мы уже установили верность двух утверждений: $OX \ge OA$ (из пункта Б) и $OA = OB$ (из пункта Г). Если мы заменим в первом неравенстве $OA$ на равный ему отрезок $OB$, то получим $OX \ge OB$. Следовательно, это утверждение также является верным.

Ответ: верно.

А) $OX > OB$

Это утверждение говорит о том, что $OX$ всегда строго больше $OB$. Однако, как мы выяснили при анализе утверждения Б, если точка X совпадает с точкой касания A, то $OX = OA$. А так как $OA = OB$, то в этом случае $OX = OB$. Поскольку существует случай, когда достигается равенство, утверждение о строгом неравенстве ($OX > OB$) для произвольной точки X является неверным.

Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является утверждение А).

6. На рисунке изображена прямая $a$, касающаяся окружности с центром $O$ в точке $A$. На окружности отметили точку $B$, $X$ – произвольная точка прямой $a$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $OX > OB$

В) $OX \ge OB$

Б) $OX \ge OA$

Г) $OA = OB$