Номер 3, страница 180 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 3, страница 180.

3. Сколько точек содержит геометрическое место точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон и вершины?

А) одну

Б) две

В) бесконечно много

Г) ни одной

Для решения этой задачи необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих двум условиям: они должны быть равноудалены от сторон угла и, одновременно, от его вершины.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в данном случае, от сторон угла), представляет собой пару биссектрис этих углов. Поскольку искомые точки должны принадлежать углу, мы рассматриваем только биссектрису данного угла — луч, выходящий из вершины и делящий угол пополам.

2. Теперь найдем на этой биссектрисе точки, которые равноудалены от вершины угла. Пусть вершина угла находится в точке $O$, а $P$ — произвольная точка на биссектрисе. Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на одну из сторон угла. Расстояние от точки $P$ до этой стороны равно длине отрезка $PM$. Расстояние от точки $P$ до вершины угла равно длине отрезка $OP$.

По условию задачи, эти расстояния должны быть равны: $OP = PM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMP$. Он является прямоугольным, поскольку $PM$ — это перпендикуляр к стороне угла, то есть $\angle OMP = 90^\circ$. В этом треугольнике $OP$ — гипотенуза, а $PM$ — катет.

В любом невырожденном прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда строго больше длины любого из катетов ($OP > PM$). Равенство $OP = PM$ возможно только в одном случае: когда треугольник $\triangle OMP$ вырожден, то есть все его вершины совпадают. Это означает, что точка $P$ должна совпадать с вершиной $O$. В этом случае расстояние до вершины равно $0$, и расстояние до сторон также равно $0$.

Таким образом, единственная точка, удовлетворяющая всем условиям задачи, — это вершина угла.

Исключением является развернутый угол ($180^\circ$), для которого таких точек бесконечно много. Однако, так как в вариантах ответа присутствует однозначный выбор, предполагается рассмотрение общего, неразвернутого случая.

Ответ: А) одну

3. Сколько точек содержит геометрическое место точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон и вершины?

А) 1

Б) 2

В) бесконечно много

Г) ни одной