Номер 8, страница 180 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 8, страница 180.

8. Центр описанной окружности треугольника – это точка пересечения:

А) высот треугольника

Б) медиан треугольника

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника

Г) биссектрис треугольника

Центр описанной окружности треугольника — это точка, равноудаленная от всех трех вершин этого треугольника. Пусть дан треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$. Центр $O$ описанной около него окружности должен удовлетворять условию $OA = OB = OC$, где $OA$, $OB$, $OC$ — радиусы описанной окружности.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов, чтобы определить, какой из них соответствует этому определению.

А) высот треугольника. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. В общем случае ортоцентр не является равноудаленным от вершин треугольника. Например, в прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном находится вне треугольника, в то время как центр описанной окружности всегда равноудален от вершин. Следовательно, этот вариант неверный.

Б) медиан треугольника. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс. Эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Она не является равноудаленной от вершин в общем случае (исключение составляет равносторонний треугольник, где все замечательные точки совпадают). Следовательно, этот вариант неверный.

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Поскольку центр описанной окружности $O$ должен быть равноудален от вершин $A$ и $B$ ($OA=OB$), он обязан лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Аналогично, из условия $OB=OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Это утверждение является точным определением центра описанной окружности. Следовательно, этот вариант верный.

Г) биссектрис треугольника. Точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром вписанной окружности. Эта точка равноудалена от сторон треугольника, а не от его вершин. Следовательно, этот вариант неверный.

Ответ: В

8. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения

А) высот треугольника

Б) медиан треугольника

В) серединных перпендикуляров сторон треугольника

Г) биссектрис треугольника