Номер 749, страница 191 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 749, страница 191.

749. Точка D – середина отрезка MK, $MK = 16 \text{ см}$. На прямой MK найдите все точки Y, такие, что $MY + KY + DY = 30 \text{ см}$.

По условию задачи, точка $D$ — середина отрезка $MK$, длина которого $MK = 16$ см. Это означает, что $MD = DK = \frac{MK}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Точки $M$, $K$, $D$ и $Y$ лежат на одной прямой.

Для решения задачи введем координатную прямую. Пусть точка $D$ будет началом координат, то есть ее координата равна 0. Так как $D$ — середина $MK$, а $MD = DK = 8$ см, то координаты точек $M$ и $K$ будут $M(-8)$ и $K(8)$. Пусть координата точки $Y$ равна $y$.

Длины отрезков (расстояния между точками) вычисляются как модуль разности координат:

• $MY = |y - (-8)| = |y + 8|$
• $KY = |y - 8|$
• $DY = |y - 0| = |y|$

Согласно условию, $MY + KY + DY = 30$ см. Подставим выражения через координату $y$:

$|y + 8| + |y - 8| + |y| = 30$

Для решения этого уравнения с модулями рассмотрим четыре случая расположения точки $Y$ на координатной прямой, в зависимости от того, где она находится относительно точек $M(-8)$, $D(0)$ и $K(8)$.

1. Точка Y лежит левее точки M (или совпадает с ней), то есть $y \le -8$.

В этом случае:

• $y + 8 \le 0$, поэтому $|y + 8| = -(y + 8) = -y - 8$.
• $y - 8 < 0$, поэтому $|y - 8| = -(y - 8) = -y + 8$.
• $y < 0$, поэтому $|y| = -y$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(-y - 8) + (-y + 8) + (-y) = 30$

$-3y = 30$

$y = -10$

Значение $y = -10$ удовлетворяет условию $y \le -8$. Следовательно, это одно из решений. Эта точка находится на расстоянии $|-10| = 10$ см от точки $D$ в отрицательном направлении. Расстояние от точки $M(-8)$ до этой точки $Y(-10)$ равно $MY = |-10 - (-8)| = |-2| = 2$ см.

2. Точка Y лежит между M и D, то есть $-8 < y \le 0$.

В этом случае:

• $y + 8 > 0$, поэтому $|y + 8| = y + 8$.
• $y - 8 < 0$, поэтому $|y - 8| = -(y - 8) = -y + 8$.
• $y \le 0$, поэтому $|y| = -y$.

Подставим в уравнение:

$(y + 8) + (-y + 8) + (-y) = 30$

$16 - y = 30$

$y = 16 - 30 = -14$

Значение $y = -14$ не принадлежит промежутку $(-8, 0]$. Следовательно, в этом интервале решений нет.

3. Точка Y лежит между D и K, то есть $0 < y < 8$.

В этом случае:

• $y + 8 > 0$, поэтому $|y + 8| = y + 8$.
• $y - 8 < 0$, поэтому $|y - 8| = -(y - 8) = -y + 8$.
• $y > 0$, поэтому $|y| = y$.

Подставим в уравнение:

$(y + 8) + (-y + 8) + y = 30$

$16 + y = 30$

$y = 14$

Значение $y = 14$ не принадлежит промежутку $(0, 8)$. Следовательно, в этом интервале решений нет.

4. Точка Y лежит правее точки K (или совпадает с ней), то есть $y \ge 8$.

В этом случае:

• $y + 8 > 0$, поэтому $|y + 8| = y + 8$.
• $y - 8 \ge 0$, поэтому $|y - 8| = y - 8$.
• $y > 0$, поэтому $|y| = y$.

Подставим в уравнение:

$(y + 8) + (y - 8) + y = 30$

$3y = 30$

$y = 10$

Значение $y = 10$ удовлетворяет условию $y \ge 8$. Следовательно, это второе решение. Эта точка находится на расстоянии $|10| = 10$ см от точки $D$ в положительном направлении. Расстояние от точки $K(8)$ до этой точки $Y(10)$ равно $KY = |10 - 8| = 2$ см.

Таким образом, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: Существуют две такие точки $Y$. Первая точка расположена на прямой $MK$ на расстоянии 2 см от точки $M$, при этом $M$ лежит между $Y$ и $K$. Вторая точка расположена на прямой $MK$ на расстоянии 2 см от точки $K$, при этом $K$ лежит между $M$ и $Y$.