Номер 754, страница 191 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 754, страница 191.

754. На рисунке 384 $BD \perp BC$. Угол между биссектрисами углов ABD и DBC равен 55°. Найдите угол ABD.

Рис. 384

По условию задачи дано, что $BD \perp BC$. Это означает, что угол между лучами $BD$ и $BC$ является прямым, то есть его величина равна $90°$.

$∠DBC = 90°$

Пусть один луч (назовем его $BM$) является биссектрисой угла $ABD$, а другой луч (назовем его $BK$) — биссектрисой угла $DBC$. Угол между этими биссектрисами, $∠MBK$, по условию равен $55°$.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Следовательно:

$∠MBD = \frac{1}{2} ∠ABD$

$∠DBK = \frac{1}{2} ∠DBC$

Мы можем вычислить величину угла $DBK$, так как нам известен угол $DBC$:

$∠DBK = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$

Как видно из рисунка, угол между биссектрисами $∠MBK$ состоит из суммы двух углов: $∠MBD$ и $∠DBK$.

$∠MBK = ∠MBD + ∠DBK$

Теперь подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти $∠MBD$:

$55° = ∠MBD + 45°$

Выразим $∠MBD$ из уравнения:

$∠MBD = 55° - 45° = 10°$

Поскольку луч $BM$ является биссектрисой угла $ABD$, то искомый угол $ABD$ в два раза больше угла $MBD$.

$∠ABD = 2 \cdot ∠MBD$

$∠ABD = 2 \cdot 10° = 20°$

Ответ: $20°$.