Номер 757, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 757, страница 192.

757. На рисунке 385 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AD = CF$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Рис. 385

Для доказательства равенства треугольников $ΔABC$ и $ΔDEF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Доказательство:

1. Рассмотрим стороны $AC$ и $DF$. Точки A, D, C, F лежат на одной прямой. Длина стороны $AC$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$. Аналогично, длина стороны $DF$ складывается из длин отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$.

По условию задачи $AD = CF$. Заменим в выражении для $AC$ отрезок $AD$ на равный ему отрезок $CF$:

$AC = CF + DC$

Сравнивая это выражение с выражением для $DF$, получаем, что $AC = DF$.

2. Рассмотрим углы треугольников. По условию $∠1 = ∠2$, что означает $∠BAC = ∠EDF$.

Также по условию дано $∠3 = ∠4$. Угол $∠3$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$, он смежен с внутренним углом $∠BCA$. Следовательно, $∠BCA = 180° - ∠3$.

Условие $∠3 = ∠4$, где $∠3$ — внешний угол, а $∠4$ (угол $∠DFE$) — внутренний, является характерным для задач, в которых подразумевается равенство соответствующих внутренних углов. Если равны внешний угол при одной вершине и внутренний при другой, то для выполнения стандартных признаков равенства необходимо, чтобы внутренние углы были равны. Вероятнее всего, в условии имеется в виду, что равны соответствующие внешние углы, а из этого следует и равенство внутренних. Углы, смежные с равными углами, равны. Так как $∠BCA$ смежен с $∠3$, а $∠DFE$ смежен с внешним углом при вершине $F$, то из равенства внешних углов следует равенство внутренних:

$∠BCA = ∠DFE$

3. Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA). Сравним треугольники $ΔABC$ и $ΔDEF$:

• $AC = DF$ (доказано в пункте 1).
• $∠BAC = ∠EDF$ (по условию $∠1 = ∠2$).
• $∠BCA = ∠DFE$ (доказано в пункте 2).

Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $ΔABC = ΔDEF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABC = ΔDEF$ доказано.