Номер 764, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 764, страница 192.

764. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Докажите, что прямая $BD$ – серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Для доказательства того, что прямая $BD$ является серединным перпендикуляром отрезка $AC$, необходимо показать, что прямая $BD$ проходит через середину отрезка $AC$ и перпендикулярна ему.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, следовательно, его боковые стороны равны: $AB = CB$. Также по условию, треугольник $ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$, следовательно, его боковые стороны равны: $AD = CD$. Сторона $BD$ является общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $\angle ABD = \angle CBD$.

Пусть $M$ — точка пересечения прямой $BD$ и отрезка $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. В этих треугольниках сторона $AB = CB$ (по условию), сторона $BM$ — общая, а угол между ними $\angle ABM = \angle CBM$ (так как это те же углы, что и $\angle ABD$ и $\angle CBD$, равенство которых было доказано выше).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ следует, во-первых, что $AM = CM$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Во-вторых, следует, что $\angle AMB = \angle CMB$. Так как эти углы смежные и их сумма равна $180^\circ$, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $BD \perp AC$.

Поскольку прямая $BD$ проходит через середину отрезка $AC$ и перпендикулярна ему, она по определению является серединным перпендикуляром отрезка $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что прямая $BD$ является серединным перпендикуляром отрезка $AC$, доказано.