Номер 765, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 765, страница 192.

765. На рисунке 387 $AB = BC$, $\angle ABO = \angle CBO$. Докажите, что $\angle DAO = \angle DCO$.

Рис. 387

Дано:

$AB = BC$, $ \angle ABO = \angle CBO $.

Доказать:

$ \angle DAO = \angle DCO $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. Отрезок $BO$ является биссектрисой угла $ABC$, так как по условию $ \angle ABO = \angle CBO $. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

3. Поскольку $BO$ — медиана, то она делит основание $AC$ пополам: $AO = CO$.

4. Поскольку $BO$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$: $BO \perp AC$. Это означает, что углы, образованные пересечением $BO$ и $AC$, прямые: $ \angle AOD = \angle COD = 90^\circ $.

5. Теперь рассмотрим треугольники $ADO$ и $CDO$. В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (доказано в п. 3).
• $DO$ — общая сторона.
• $ \angle AOD = \angle COD = 90^\circ $ (доказано в п. 4).

Следовательно, $ \triangle ADO = \triangle CDO $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Таким образом, углы, лежащие напротив равных сторон, равны. В частности, $ \angle DAO = \angle DCO $, так как они лежат напротив общей стороны $DO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle DAO = \angle DCO $ доказано.