Номер 767, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 767, страница 193.

767. Точка O – точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AC и BC треугольника ABC – принадлежит его стороне AB. Докажите, что:

1) точка O – середина отрезка AB;

2) $\angle ACB = \angle A + \angle B$.

1) точка O – середина отрезка AB;

По определению, точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC$. Свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что $OA = OC$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. Это означает, что $OB = OC$.

Из двух полученных равенств $OA = OC$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OB$.

Так как по условию точка $O$ принадлежит отрезку $AB$ и $OA = OB$, то точка $O$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Доказано, что точка $O$ – середина отрезка $AB$.

2) ∠ACB = ∠A + ∠B.

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOC$, образованные отрезком $OC$.

Из пункта 1 мы установили, что $OA = OC$. Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OCA = \angle OAC$. Угол $\angle OAC$ является углом $\angle A$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle OCA = \angle A$.

Также из пункта 1 мы знаем, что $OB = OC$. Это означает, что треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Углы при основании этого треугольника равны, следовательно, $\angle OCB = \angle OBC$. Угол $\angle OBC$ является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle OCB = \angle B$.

Угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$ состоит из суммы двух углов: $\angle OCA$ и $\angle OCB$.

$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$

Заменив углы $\angle OCA$ и $\angle OCB$ на равные им углы $\angle A$ и $\angle B$ соответственно, получаем:

$\angle ACB = \angle A + \angle B$

Ответ: Доказано, что $\angle ACB = \angle A + \angle B$.