Номер 774, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 774, страница 194.

774. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $\angle AMK = \angle ABC$. Докажите, что $\angle AKM = \angle ACB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle A$ (также известный как $\angle MAK$ или $\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.

2. По условию задачи нам дано, что $\angle AMK = \angle ABC$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle AMK$ (а именно $\angle MAK$ и $\angle AMK$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle ABC$ ($\angle BAC$ и $\angle ABC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Подобие треугольников записывается как $\triangle AMK \sim \triangle ABC$. Вершины в этой записи соответствуют друг другу: вершина $A$ соответствует сама себе, вершина $M$ соответствует вершине $B$, и, следовательно, вершина $K$ соответствует вершине $C$.

Из подобия треугольников следует, что все их соответственные углы равны. Третьей парой соответственных углов являются $\angle AKM$ и $\angle ACB$.

Таким образом, мы можем заключить, что $\angle AKM = \angle ACB$, что и требовалось доказать.

Альтернативное решение через сумму углов треугольника:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle AMK$ имеем: $\angle MAK + \angle AMK + \angle AKM = 180^\circ$.
Отсюда, $\angle AKM = 180^\circ - \angle MAK - \angle AMK$.

Для треугольника $\triangle ABC$ имеем: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.
Отсюда, $\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC$.

По условию задачи $\angle AMK = \angle ABC$. Также, $\angle MAK$ и $\angle BAC$ - это один и тот же общий угол $\angle A$.

Сравнивая выражения для $\angle AKM$ и $\angle ACB$, мы видим, что их правые части равны:
$\angle AKM = 180^\circ - \angle A - \angle AMK$
$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle ABC$
Так как $\angle AMK = \angle ABC$, то $180^\circ - \angle A - \angle AMK = 180^\circ - \angle A - \angle ABC$.
Следовательно, $\angle AKM = \angle ACB$.

Ответ: Равенство $\angle AKM = \angle ACB$ доказано на основе признака подобия треугольников по двум углам (или через теорему о сумме углов треугольника).