Номер 769, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 769, страница 193.

769. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ – медиана. Периметр треугольника $ABC$ равен 50 см, а периметр треугольника $ABD$ – 40 см. Найдите длину медианы $BD$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, следовательно, треугольник является равнобедренным.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Поскольку $AB = BC$, мы можем записать периметр как:

$P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$

Из условия известно, что $P_{ABC} = 50$ см, значит:

$2 \cdot AB + AC = 50$

Отрезок $BD$ является медианой, проведенной к стороне $AC$. По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Таким образом, $D$ — середина $AC$, и $AD = DC$.

Отсюда следует, что длина всей стороны $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$:

$AC = AD + DC = 2 \cdot AD$

Теперь подставим это выражение для $AC$ в формулу периметра треугольника $ABC$:

$2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 50$

Вынесем 2 за скобки и разделим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (AB + AD) = 50$

$AB + AD = 25$ см.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$), который по условию равен 40 см. Он складывается из длин сторон $AB$, $AD$ и $BD$:

$P_{ABD} = AB + AD + BD$

Подставим известное значение суммы $AB + AD$ в это уравнение:

$25 + BD = 40$

Чтобы найти длину медианы $BD$, вычтем 25 из 40:

$BD = 40 - 25$

$BD = 15$ см.

Ответ: 15 см.