Номер 768, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 768, страница 193.

768. Медиана треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$ к стороне $AC$. Эта медиана разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Периметр треугольника $ABM$ ($P_{\triangle ABM}$) вычисляется как сумма длин его сторон: $P_{\triangle ABM} = AB + AM + BM$

Периметр треугольника $CBM$ ($P_{\triangle CBM}$) вычисляется аналогично: $P_{\triangle CBM} = BC + CM + BM$

По условию задачи, периметры этих двух треугольников равны: $P_{\triangle ABM} = P_{\triangle CBM}$

Приравняем выражения для периметров: $AB + AM + BM = BC + CM + BM$

Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников. Вычтем её длину из обеих частей равенства: $AB + AM = BC + CM$

По определению, медиана $BM$ делит сторону $AC$ на два равных отрезка, то есть: $AM = CM$

Так как $AM = CM$, мы можем вычесть эти равные длины из обеих частей равенства $AB + AM = BC + CM$. В результате получаем: $AB = BC$

Мы доказали, что две стороны треугольника $ABC$ ($AB$ и $BC$) равны. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если медиана треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то исходный треугольник является равнобедренным.