Номер 772, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 772, страница 193.

772. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $AM$ и $A_1M_1$ равны, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию, в этих треугольниках проведены медианы $ AM $ и $ A_1M_1 $ соответственно. Дано, что $ AM = A_1M_1 $, $ AB = A_1B_1 $ и $ BC = B_1C_1 $.

Так как $ AM $ и $ A_1M_1 $ — медианы, они делят стороны $ BC $ и $ B_1C_1 $ пополам. То есть, $ BM = \frac{1}{2}BC $ и $ B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1 $. Поскольку по условию $ BC = B_1C_1 $, то и половины этих сторон равны: $ BM = B_1M_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. В них стороны $ AB $, $ AM $ и $ BM $ соответственно равны сторонам $ A_1B_1 $, $ A_1M_1 $ и $ B_1M_1 $ ($ AB = A_1B_1 $ по условию, $ AM = A_1M_1 $ по условию, $ BM = B_1M_1 $ по доказанному). Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ следует равенство их соответствующих углов. Таким образом, $ \angle B = \angle B_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. В них сторона $ AB $ равна стороне $ A_1B_1 $, сторона $ BC $ равна стороне $ B_1C_1 $ (по условию), а угол между этими сторонами, $ \angle B $, равен углу $ \angle B_1 $ (по доказанному). Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.