Номер 778, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 778, страница 194.

778. На продолжении боковых сторон $AC$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $C$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно так, что $DE \parallel AB$. Докажите, что $\triangle CDE$ равнобедренный.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC = BC$. Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ за вершину $C$. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за вершину $C$. Прямая $DE \parallel AB$.

Доказать: $\triangle CDE$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Поскольку $\triangle ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AC$ и $BC$, углы при его основании $AB$ равны. То есть, $∠CAB = ∠CBA$.

2. По условию задачи прямая $DE$ параллельна прямой $AB$ ($DE \parallel AB$).

3. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AB$ и секущую $AE$. Углы $∠CED$ и $∠CAB$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны, следовательно, $∠CED = ∠CAB$.

4. Аналогично, рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AB$ и секущую $BD$. Углы $∠CDE$ и $∠CBA$ также являются соответственными. Следовательно, $∠CDE = ∠CBA$.

5. Теперь мы можем сопоставить полученные равенства:

• $∠CAB = ∠CBA$ (из пункта 1)
• $∠CED = ∠CAB$ (из пункта 3)
• $∠CDE = ∠CBA$ (из пункта 4)

Из этих трех равенств следует, что $∠CED = ∠CDE$.

6. В треугольнике $CDE$ два угла, $∠CED$ и $∠CDE$, равны между собой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны, то есть $CE = CD$.

Таким образом, треугольник $CDE$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $\triangle CDE$ является равнобедренным.