Страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

774. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $\angle AMK = \angle ABC$. Докажите, что $\angle AKM = \angle ACB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle A$ (также известный как $\angle MAK$ или $\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.

2. По условию задачи нам дано, что $\angle AMK = \angle ABC$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle AMK$ (а именно $\angle MAK$ и $\angle AMK$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle ABC$ ($\angle BAC$ и $\angle ABC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Подобие треугольников записывается как $\triangle AMK \sim \triangle ABC$. Вершины в этой записи соответствуют друг другу: вершина $A$ соответствует сама себе, вершина $M$ соответствует вершине $B$, и, следовательно, вершина $K$ соответствует вершине $C$.

Из подобия треугольников следует, что все их соответственные углы равны. Третьей парой соответственных углов являются $\angle AKM$ и $\angle ACB$.

Таким образом, мы можем заключить, что $\angle AKM = \angle ACB$, что и требовалось доказать.

Альтернативное решение через сумму углов треугольника:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle AMK$ имеем: $\angle MAK + \angle AMK + \angle AKM = 180^\circ$.
Отсюда, $\angle AKM = 180^\circ - \angle MAK - \angle AMK$.

Для треугольника $\triangle ABC$ имеем: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.
Отсюда, $\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC$.

По условию задачи $\angle AMK = \angle ABC$. Также, $\angle MAK$ и $\angle BAC$ - это один и тот же общий угол $\angle A$.

Сравнивая выражения для $\angle AKM$ и $\angle ACB$, мы видим, что их правые части равны:
$\angle AKM = 180^\circ - \angle A - \angle AMK$
$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle ABC$
Так как $\angle AMK = \angle ABC$, то $180^\circ - \angle A - \angle AMK = 180^\circ - \angle A - \angle ABC$.
Следовательно, $\angle AKM = \angle ACB$.

Ответ: Равенство $\angle AKM = \angle ACB$ доказано на основе признака подобия треугольников по двум углам (или через теорему о сумме углов треугольника).

775. Докажите, что биссектрисы односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, перпендикулярны.

Пусть даны две параллельные прямые a и b и секущая c, которая пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.

При пересечении образуются односторонние внутренние углы. Обозначим их как $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. Согласно свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна $180^\circ$. Таким образом, $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $.

Проведем биссектрисы этих углов. Пусть биссектриса угла $ \angle 1 $ и биссектриса угла $ \angle 2 $ пересекаются в точке C. Эти биссектрисы вместе с отрезком AB секущей образуют треугольник $ \triangle ABC $.

По определению биссектрисы, углы $ \angle CAB $ и $ \angle CBA $ в треугольнике $ \triangle ABC $ равны половинам углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ соответственно: $ \angle CAB = \frac{\angle 1}{2} $ и $ \angle CBA = \frac{\angle 2}{2} $.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $ \triangle ABC $ имеем: $ \angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ $.

Подставим выражения для углов $ \angle CAB $ и $ \angle CBA $ в это уравнение: $ \frac{\angle 1}{2} + \frac{\angle 2}{2} + \angle ACB = 180^\circ $.

Преобразуем левую часть: $ \frac{\angle 1 + \angle 2}{2} + \angle ACB = 180^\circ $.

Зная, что $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $, подставим это значение в полученное уравнение: $ \frac{180^\circ}{2} + \angle ACB = 180^\circ $.

Упростим: $ 90^\circ + \angle ACB = 180^\circ $.

Отсюда находим величину угла $ \angle ACB $, который является углом между биссектрисами: $ \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Так как угол между биссектрисами равен $90^\circ$, то по определению они перпендикулярны.

Ответ: Биссектрисы односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, перпендикулярны, что и требовалось доказать.

776. Каково взаимное расположение биссектрис соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и секущая $c$.

При пересечении этих прямых секущей $c$ образуется несколько пар соответственных углов. Рассмотрим одну из таких пар, назовем их $\angle 1$ и $\angle 2$.

По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны:

$\angle 1 = \angle 2$

Проведем биссектрисы $b_1$ и $b_2$ для углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению, биссектриса делит угол пополам. Следовательно:

• Биссектриса $b_1$ делит угол $\angle 1$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{\angle 1}{2}$.
• Биссектриса $b_2$ делит угол $\angle 2$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{\angle 2}{2}$.

Теперь рассмотрим прямые $b_1$ и $b_2$, которые являются нашими биссектрисами, и прямую $c$ в качестве их секущей. Угол, образованный биссектрисой $b_1$ и секущей $c$, и угол, образованный биссектрисой $b_2$ и секущей $c$, также являются соответственными.

Величина первого из этих новых углов равна $\frac{\angle 1}{2}$, а второго — $\frac{\angle 2}{2}$.

Так как мы установили, что $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны:

$\frac{\angle 1}{2} = \frac{\angle 2}{2}$

Таким образом, мы имеем две прямые ($b_1$ и $b_2$), пересеченные третьей прямой ($c$), и при этом соответственные углы равны. По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Следовательно, биссектрисы $b_1$ и $b_2$ параллельны ($b_1 \parallel b_2$).

Ответ: Биссектрисы соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны друг другу.

777. Прямая, проведённая через вершину треугольника параллельно его противолежащей стороне, образует с двумя другими сторонами равные углы. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.

Дано:

Треугольник $ABC$.
Через вершину $B$ проведена прямая $l$, на которой лежат точки $D$ и $E$ так, что $D-B-E$.
Прямая $l$ параллельна стороне $AC$ ($DE \parallel AC$).
Прямая $l$ образует со сторонами $AB$ и $BC$ равные углы: $\angle DBA = \angle EBC$.

Доказать:

Треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ являются внутренними накрест лежащими. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:
$\angle DBA = \angle BAC$.

2. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $DE$ и $AC$, но с секущей $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ также являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они равны:
$\angle EBC = \angle BCA$.

3. По условию задачи нам дано, что $\angle DBA = \angle EBC$.

4. Сопоставим полученные равенства:

• $\angle BAC = \angle DBA$ (из пункта 1)
• $\angle DBA = \angle EBC$ (из условия)
• $\angle EBC = \angle BCA$ (из пункта 2)

Из этого следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

5. Мы получили, что в треугольнике $ABC$ два угла равны. Это углы при основании $AC$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны, то есть $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Треугольник является равнобедренным, так как из условия задачи и свойств параллельных прямых следует, что углы при его основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$).

778. На продолжении боковых сторон $AC$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $C$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно так, что $DE \parallel AB$. Докажите, что $\triangle CDE$ равнобедренный.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC = BC$. Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ за вершину $C$. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за вершину $C$. Прямая $DE \parallel AB$.

Доказать: $\triangle CDE$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Поскольку $\triangle ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AC$ и $BC$, углы при его основании $AB$ равны. То есть, $∠CAB = ∠CBA$.

2. По условию задачи прямая $DE$ параллельна прямой $AB$ ($DE \parallel AB$).

3. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AB$ и секущую $AE$. Углы $∠CED$ и $∠CAB$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны, следовательно, $∠CED = ∠CAB$.

4. Аналогично, рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AB$ и секущую $BD$. Углы $∠CDE$ и $∠CBA$ также являются соответственными. Следовательно, $∠CDE = ∠CBA$.

5. Теперь мы можем сопоставить полученные равенства:

• $∠CAB = ∠CBA$ (из пункта 1)
• $∠CED = ∠CAB$ (из пункта 3)
• $∠CDE = ∠CBA$ (из пункта 4)

Из этих трех равенств следует, что $∠CED = ∠CDE$.

6. В треугольнике $CDE$ два угла, $∠CED$ и $∠CDE$, равны между собой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны, то есть $CE = CD$.

Таким образом, треугольник $CDE$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $\triangle CDE$ является равнобедренным.

779. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ (точка $M$ лежит между точками $B$ и $K$) так, что $\angle KAC = \angle B$, $\angle BAM = \angle C$. Докажите, что $\triangle MAK$ равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник $\Delta MAK$ равнобедренный, покажем, что его углы при основании $MK$ равны, то есть $\angle AMK = \angle AKM$. Для этого воспользуемся данными из условия задачи: $\angle KAC = \angle B$ и $\angle BAM = \angle C$.

Рассмотрим треугольник $\Delta ABM$. Сумма его углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle AMB = 180^\circ - (\angle ABM + \angle BAM)$. Подставляя известные нам углы ($\angle ABM = \angle B$ и $\angle BAM = \angle C$), получаем $\angle AMB = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$.

Так как точки $B, M, K$ лежат на одной прямой, углы $\angle AMK$ и $\angle AMB$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$, откуда:
$\angle AMK = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - (180^\circ - (\angle B + \angle C)) = \angle B + \angle C$.

Теперь рассмотрим треугольник $\Delta AKC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$, поэтому $\angle AKC = 180^\circ - (\angle KAC + \angle ACK)$. Подставляя известные нам углы ($\angle KAC = \angle B$ и $\angle ACK = \angle C$), получаем $\angle AKC = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$.

Так как точки $M, K, C$ лежат на одной прямой, углы $\angle AKM$ и $\angle AKC$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$, откуда:
$\angle AKM = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - (180^\circ - (\angle B + \angle C)) = \angle B + \angle C$.

Сравнивая полученные выражения для углов, видим, что $\angle AMK = \angle AKM = \angle B + \angle C$.

Поскольку в треугольнике $\Delta MAK$ два угла при стороне $MK$ равны, он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\Delta MAK$ является равнобедренным.

780. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, в 2 раза меньше этого основания. Найдите углы данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

По условию задачи, высота в 2 раза меньше основания, то есть $BH = \frac{1}{2} AC$.

Так как $BH$ является медианой, она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{1}{2} AC$.

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что $BH = AH$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Он является прямоугольным, так как $BH$ — высота ($\angle BHA = 90^\circ$). Поскольку в этом треугольнике катеты $BH$ и $AH$ равны, он является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и их сумма составляет $90^\circ$. Следовательно, $\angle BAH = \angle ABH = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь найдем углы исходного треугольника $ABC$:

1. Угол при основании $\angle BAC$ равен углу $\angle BAH$, то есть $\angle BAC = 45^\circ$.

2. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, второй угол при основании $\angle BCA$ равен первому: $\angle BCA = \angle BAC = 45^\circ$.

3. Угол при вершине $\angle ABC$ можно найти двумя способами:
а) Из суммы углов треугольника: $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
б) Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABH = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, данный треугольник является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Ответ: углы треугольника равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

781. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $AB = AO$. Известно, что внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равен $160^\circ$ и $\angle C = 40^\circ$. Докажите, что $BO = CO$.

Для доказательства равенства $BO = CO$ покажем, что треугольник $BCO$ является равнобедренным с основанием $BC$, то есть докажем, что углы при его основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

1. Нахождение внутреннего угла $\angle BAC$
Внешний угол треугольника при вершине $A$ и внутренний угол $\angle BAC$ являются смежными, их сумма составляет $180^\circ$.
Следовательно, $\angle BAC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

2. Анализ треугольника $ABO$
По условию задачи $AB = AO$. Это означает, что треугольник $ABO$ является равнобедренным с основанием $BO$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABO = \angle AOB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании треугольника $ABO$ равны:
$\angle ABO = \angle AOB = (180^\circ - \angle BAO) / 2 = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 160^\circ / 2 = 80^\circ$.

3. Нахождение угла $\angle ABC$
Рассмотрим основной треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Мы знаем $\angle BAC = 20^\circ$ и $\angle C = 40^\circ$.
Найдем угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle C) = 180^\circ - (20^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Нахождение угла $\angle OBC$
Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов: $\angle ABO$ и $\angle OBC$. Мы уже нашли, что $\angle ABC = 120^\circ$ и $\angle ABO = 80^\circ$.
Найдем $\angle OBC$:
$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO = 120^\circ - 80^\circ = 40^\circ$.

5. Анализ треугольника $BCO$ и доказательство
Теперь рассмотрим треугольник $BCO$. Мы знаем следующие его углы:
- $\angle OCB$ (это тот же угол, что и $\angle C$) по условию равен $40^\circ$.
- $\angle OBC$ мы нашли в предыдущем шаге, он равен $40^\circ$.
Поскольку в треугольнике $BCO$ два угла равны ($\angle OCB = \angle OBC = 40^\circ$), он является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона $BO$ лежит против угла $\angle OCB$, а сторона $CO$ лежит против угла $\angle OBC$.
Следовательно, $BO = CO$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BO = CO$ доказано, так как треугольник $BCO$ является равнобедренным ($\angle OBC = \angle OCB = 40^\circ$).

782. На продолжениях стороны AC треугольника ABC за точки A и C отметили соответственно точки M и K так, что $AM = AB$, $CK = BC$.

Найдите углы треугольника MBK, если $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle ACB = 80^{\circ}$.

Для решения задачи найдем углы треугольников, образованных на продолжениях стороны $AC$.

Сначала найдем угол $\angle ABC$ в исходном треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Так как точки $M, A, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle MAB$ является смежным с углом $\angle BAC$.
$\angle MAB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
По условию задачи $AM = AB$, следовательно, треугольник $AMB$ — равнобедренный с основанием $MB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle AMB = \angle ABM$.
Найдем эти углы:$\angle AMB = \angle ABM = \frac{180^\circ - \angle MAB}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Таким образом, мы нашли первый угол треугольника $MBK$: $\angle BMK = \angle AMB = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CKB$. Так как точки $A, C, K$ лежат на одной прямой, угол $\angle BCK$ является смежным с углом $\angle ACB$.
$\angle BCK = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
По условию задачи $CK = BC$, следовательно, треугольник $CKB$ — равнобедренный с основанием $KB$. Углы при основании равны: $\angle CKB = \angle CBK$.
Найдем эти углы:$\angle CKB = \angle CBK = \frac{180^\circ - \angle BCK}{2} = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$.
Таким образом, мы нашли второй угол треугольника $MBK$: $\angle MKB = \angle CKB = 40^\circ$.

Осталось найти третий угол, $\angle MBK$. Этот угол состоит из суммы трех смежных углов: $\angle ABM$, $\angle ABC$ и $\angle CBK$.
$\angle MBK = \angle ABM + \angle ABC + \angle CBK$.
Подставим найденные значения:
$\angle MBK = 30^\circ + 40^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Итак, углы треугольника $MBK$ равны $30^\circ$, $40^\circ$ и $110^\circ$.
Проверка: сумма углов $30^\circ + 40^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $30^\circ$, $40^\circ$, $110^\circ$.

783. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = MK$. Известно, что $\angle B = 65^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Найдите угол $KAC$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Сначала найдем величину угла $A$ (или $\angle BAC$) в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используя известные значения углов $\angle B$ и $\angle C$, получаем:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

2. По условию задачи, прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ ($MK \parallel AC$). Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AK$, которая их пересекает. При пересечении параллельных прямых секущей образуются равные накрест лежащие углы. В нашем случае это углы $\angle MKA$ и $\angle KAC$. Таким образом, мы можем утверждать, что:

$\angle MKA = \angle KAC$.

3. Далее рассмотрим треугольник $AMK$. По условию, его стороны $AM$ и $MK$ равны ($AM = MK$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, также равны. Угол $\angle MAK$ лежит против стороны $MK$, а угол $\angle MKA$ лежит против стороны $AM$. Следовательно:

$\angle MAK = \angle MKA$.

4. Теперь объединим равенства, полученные на предыдущих шагах. Из шага 2 мы имеем $\angle MKA = \angle KAC$, а из шага 3 — $\angle MAK = \angle MKA$. Отсюда следует, что:

$\angle MAK = \angle KAC$.

Это означает, что отрезок $AK$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

5. Угол $\angle BAC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle MAK$ и $\angle KAC$, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$.

$\angle BAC = \angle MAK + \angle KAC$.

Так как мы установили, что $\angle MAK = \angle KAC$, можно подставить это в формулу:

$\angle BAC = \angle KAC + \angle KAC = 2 \cdot \angle KAC$.

6. Наконец, используя значение $\angle BAC = 70^\circ$ из шага 1, находим искомый угол $\angle KAC$:

$70^\circ = 2 \cdot \angle KAC$

$\angle KAC = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.

784. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 75^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой треугольника, проведёнными из вершины $C$.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $C$ проведены высота $CH$ к стороне $AB$ и биссектриса $CL$. Необходимо найти величину угла $\angle HCL$.

1. Найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$
Подставим известные значения:
$\angle C = 180^\circ - 55^\circ - 75^\circ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

2. Так как $CL$ является биссектрисой угла $C$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ACL$ и $\angle BCL$.
$\angle ACL = \angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Он является прямоугольным, поскольку $CH$ — высота, а значит, угол $\angle CHA = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Следовательно, угол $\angle ACH$ можно найти как:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle A$
$\angle ACH = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

4. Искомый угол $\angle HCL$ — это разность между углом $\angle ACH$ и углом $\angle ACL$, так как биссектриса $CL$ проходит между высотой $CH$ и стороной $AC$.
$\angle HCL = \angle ACH - \angle ACL$
$\angle HCL = 35^\circ - 25^\circ = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.

785. Высоты $AD$ и $BK$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекаются в точке $H$, $\angle AHB = 128^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Дано: $△ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$. $AD$ и $BK$ — высоты. Точка $H$ — точка пересечения высот. $∠AHB = 128°$.

Найти: углы $∠A, ∠B, ∠C$.

Решение:

1. Рассмотрим углы при точке пересечения высот $H$. Поскольку точки $A, H, D$ лежат на одной прямой (высота $AD$), углы $∠AHB$ и $∠BHD$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180°$.

   $∠BHD = 180° - ∠AHB = 180° - 128° = 52°$.

2. Рассмотрим треугольник $BHD$. Так как $AD$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то $AD \perp BC$, и следовательно, $△BHD$ является прямоугольным с прямым углом $∠BDH = 90°$.

   Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Отсюда найдем угол $∠HBD$:

   $∠HBD = 90° - ∠BHD = 90° - 52° = 38°$.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. Так как $BK$ — высота, проведенная к стороне $AC$, то $BK \perp AC$, следовательно, $∠BKC = 90°$.

   Угол $∠HBD$ — это угол между отрезком $BH$ и стороной $BC$. Так как точка $H$ лежит на высоте $BK$, то угол $∠HBD$ совпадает с углом $∠KBC$. Таким образом, $∠KBC = 38°$.

   Из прямоугольного треугольника $BKC$ найдем угол $∠BCK$, который является углом $∠C$ треугольника $ABC$:

   $∠C = ∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 38° = 52°$.

4. По условию треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ ($AB = BC$), поэтому углы при основании равны: $∠A = ∠C$.

   Следовательно, $∠A = 52°$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Найдем угол $∠B$:

   $∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (52° + 52°) = 180° - 104° = 76°$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $52°, 76°, 52°$.

786. Высоты $AD$ и $CM$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекаются в точке $H$, $\angle AHC = 140^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи, в равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AD$ и $CM$, которые пересекаются в точке $H$. Известен угол $∠AHC = 140°$.

Рассмотрим четырехугольник $MBHD$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $D$ - на стороне $BC$.

1. Углы $∠AHC$ и $∠MHD$ являются вертикальными, следовательно, они равны:

$∠MHD = ∠AHC = 140°$

2. Поскольку $CM$ является высотой, то $CM ⊥ AB$, из чего следует, что $∠CMB = 90°$. Угол $∠BMH$ является частью угла $∠CMB$ и равен $90°$.

3. Аналогично, поскольку $AD$ является высотой, то $AD ⊥ BC$, из чего следует, что $∠ADB = 90°$. Угол $∠HDB$ является частью угла $∠ADB$ и равен $90°$.

4. Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360°$. Для четырехугольника $MBHD$ это записывается как:

$∠B + ∠BMH + ∠MHD + ∠HDB = 360°$

5. Подставим известные значения углов в это уравнение:

$∠B + 90° + 140° + 90° = 360°$

$∠B + 320° = 360°$

$∠B = 360° - 320°$

$∠B = 40°$

6. Теперь найдем углы при основании $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $∠BAC = ∠BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$:

$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°$

$∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC$

$∠BAC + ∠BCA = 180° - 40° = 140°$

Поскольку $∠BAC = ∠BCA$, то:

$2 ⋅ ∠BAC = 140°$

$∠BAC = 140° / 2 = 70°$

Следовательно, $∠BCA = 70°$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $∠A = 70°$, $∠B = 40°$, $∠C = 70°$.

787. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $42^\circ$. Найдите меньший из углов, образованных биссектрисой прямого угла и гипотенузой.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Один из острых углов равен $42^\circ$. Пусть это будет $\angle A$, то есть $\angle A = 42^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Найдем второй острый угол $\angle B$:$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

Пусть $CD$ — биссектриса прямого угла $\angle C$. Она делит угол $\angle C$ на два равных угла:$\angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Биссектриса $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$. При этом образуются два смежных угла: $\angle ADC$ и $\angle BDC$. Найдем их величины, рассмотрев один из треугольников, образовавшихся после проведения биссектрисы, например, треугольник $ADC$.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$:$\angle A + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

Отсюда можем найти угол $\angle ADC$:$\angle ADC = 180^\circ - \angle A - \angle ACD = 180^\circ - 42^\circ - 45^\circ = 93^\circ$

Углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle BDC$:$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$

Таким образом, биссектриса прямого угла образует с гипотенузой углы $93^\circ$ и $87^\circ$.

Меньший из этих углов равен $87^\circ$.

Ответ: $87^\circ$.

788. Из точек $C$ и $D$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $CE$ и $DF$ на эту прямую, $CF = DE$. Докажите, что $CE = DF$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle CEF$ и $\triangle DFE$.

По условию задачи, отрезки $CE$ и $DF$ являются перпендикулярами, опущенными из точек $C$ и $D$ на прямую $m$. Это означает, что точки $E$ и $F$ лежат на прямой $m$. Следовательно, $\triangle CEF$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $E$ ($\angle CEF = 90^\circ$), а $\triangle DFE$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $F$ ($\angle DFE = 90^\circ$).

Сравним эти два прямоугольных треугольника. У них есть общий катет $EF$. Кроме того, по условию задачи, их гипотенузы равны: $CF = DE$.

Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Таким образом, $\triangle CEF = \triangle DFE$, так как у них общий катет $EF$ и равные гипотенузы $CF$ и $DE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $CE$ треугольника $\triangle CEF$ соответствует катету $DF$ треугольника $\triangle DFE$.

Следовательно, $CE = DF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CE = DF$ доказано.