Страница 191 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

747. Отрезок, длина которого равна $a$, разделили на пять равных отрезков. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

Пусть длина исходного отрезка равна $a$.

По условию задачи, этот отрезок разделили на пять равных частей. Следовательно, длина каждого из этих пяти малых отрезков составляет $ \frac{a}{5} $.

Нам необходимо найти расстояние между серединами крайних отрезков, то есть первого и пятого.

Это расстояние можно вычислить несколькими способами.

Способ 1: Сложение частей

Искомое расстояние складывается из следующих частей:

• половина длины первого отрезка;
• полная длина второго, третьего и четвертого отрезков;
• половина длины пятого отрезка.

Длина половины одного малого отрезка равна: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{5} = \frac{a}{10} $.

Суммарная длина трех средних отрезков равна: $ 3 \cdot \frac{a}{5} = \frac{3a}{5} $.

Теперь сложим длины всех этих частей:

$ \text{Расстояние} = (\text{половина первого}) + (\text{три средних}) + (\text{половина пятого}) = \frac{a}{10} + \frac{3a}{5} + \frac{a}{10} $

Приведем дроби к общему знаменателю $10$:

$ \frac{a}{10} + \frac{6a}{10} + \frac{a}{10} = \frac{a + 6a + a}{10} = \frac{8a}{10} $

Сократим дробь и получим ответ: $ \frac{4a}{5} $.

Способ 2: Вычитание из целого

Можно найти искомое расстояние, если из общей длины отрезка $a$ вычесть те части, которые не входят в это расстояние. Это первая половина первого отрезка и последняя половина пятого отрезка.

Длина половины малого отрезка: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{5} = \frac{a}{10} $.

Вычитаем из общей длины $a$ две такие половины:

$ \text{Расстояние} = a - \frac{a}{10} - \frac{a}{10} = a - \frac{2a}{10} = a - \frac{a}{5} $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{5a}{5} - \frac{a}{5} = \frac{4a}{5} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ \frac{4a}{5} $.

ков. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

748. Точка C – середина отрезка AB, $AB = 10$ см. На прямой AB найдите все точки X, такие, что $AX + BX + CX = 12$ см.

Для решения задачи введем координатную прямую. Пусть точка $C$, как середина отрезка $AB$, будет началом координат, то есть ее координата равна 0. Длина отрезка $AB$ равна 10 см, значит $AC = CB = 10 / 2 = 5$ см. Тогда точка $A$ будет иметь координату $-5$, а точка $B$ — координату $5$.

Пусть искомая точка $X$ имеет координату $x$. Тогда расстояния от точки $X$ до точек $A$, $B$ и $C$ можно выразить через модули разностей их координат:

• $AX = |x - (-5)| = |x + 5|$
• $BX = |x - 5|$
• $CX = |x - 0| = |x|$

Согласно условию задачи, сумма этих расстояний равна 12 см. Составим уравнение:

$|x + 5| + |x - 5| + |x| = 12$

Для решения этого уравнения с модулями необходимо рассмотреть четыре случая, в зависимости от того, на каком промежутке находится $x$. Границы промежутков — это точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $-5$, $0$ и $5$.

1. Пусть $x < -5$. В этом случае все выражения под модулями отрицательны, поэтому при раскрытии модулей знак меняется на противоположный:

$-(x + 5) - (x - 5) - x = 12$

$-x - 5 - x + 5 - x = 12$

$-3x = 12$

$x = -4$

Это значение не удовлетворяет условию $x < -5$, следовательно, в данном промежутке решений нет.

2. Пусть $-5 \leq x < 0$. В этом случае $|x + 5| = x + 5$, а $|x - 5| = -(x - 5)$ и $|x| = -x$:

$(x + 5) - (x - 5) - x = 12$

$x + 5 - x + 5 - x = 12$

$10 - x = 12$

$x = -2$

Это значение удовлетворяет условию $-5 \leq x < 0$, значит, $x = -2$ является решением. Эта точка расположена на отрезке $AC$ на расстоянии 2 см от точки $C$.

3. Пусть $0 \leq x < 5$. В этом случае $|x + 5| = x + 5$, $|x - 5| = -(x - 5)$ и $|x| = x$:

$(x + 5) - (x - 5) + x = 12$

$x + 5 - x + 5 + x = 12$

$10 + x = 12$

$x = 2$

Это значение удовлетворяет условию $0 \leq x < 5$, значит, $x = 2$ также является решением. Эта точка расположена на отрезке $CB$ на расстоянии 2 см от точки $C$.

4. Пусть $x \geq 5$. В этом случае все выражения под модулями неотрицательны:

$(x + 5) + (x - 5) + x = 12$

$3x = 12$

$x = 4$

Это значение не удовлетворяет условию $x \geq 5$, следовательно, в данном промежутке решений нет.

Таким образом, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: Существуют две такие точки. Они расположены на отрезке $AB$ на расстоянии 2 см от его середины $C$.

749. Точка D – середина отрезка MK, $MK = 16 \text{ см}$. На прямой MK найдите все точки Y, такие, что $MY + KY + DY = 30 \text{ см}$.

По условию задачи, точка $D$ — середина отрезка $MK$, длина которого $MK = 16$ см. Это означает, что $MD = DK = \frac{MK}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Точки $M$, $K$, $D$ и $Y$ лежат на одной прямой.

Для решения задачи введем координатную прямую. Пусть точка $D$ будет началом координат, то есть ее координата равна 0. Так как $D$ — середина $MK$, а $MD = DK = 8$ см, то координаты точек $M$ и $K$ будут $M(-8)$ и $K(8)$. Пусть координата точки $Y$ равна $y$.

Длины отрезков (расстояния между точками) вычисляются как модуль разности координат:

• $MY = |y - (-8)| = |y + 8|$
• $KY = |y - 8|$
• $DY = |y - 0| = |y|$

Согласно условию, $MY + KY + DY = 30$ см. Подставим выражения через координату $y$:

$|y + 8| + |y - 8| + |y| = 30$

Для решения этого уравнения с модулями рассмотрим четыре случая расположения точки $Y$ на координатной прямой, в зависимости от того, где она находится относительно точек $M(-8)$, $D(0)$ и $K(8)$.

1. Точка Y лежит левее точки M (или совпадает с ней), то есть $y \le -8$.

В этом случае:

• $y + 8 \le 0$, поэтому $|y + 8| = -(y + 8) = -y - 8$.
• $y - 8 < 0$, поэтому $|y - 8| = -(y - 8) = -y + 8$.
• $y < 0$, поэтому $|y| = -y$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(-y - 8) + (-y + 8) + (-y) = 30$

$-3y = 30$

$y = -10$

Значение $y = -10$ удовлетворяет условию $y \le -8$. Следовательно, это одно из решений. Эта точка находится на расстоянии $|-10| = 10$ см от точки $D$ в отрицательном направлении. Расстояние от точки $M(-8)$ до этой точки $Y(-10)$ равно $MY = |-10 - (-8)| = |-2| = 2$ см.

2. Точка Y лежит между M и D, то есть $-8 < y \le 0$.

В этом случае:

• $y + 8 > 0$, поэтому $|y + 8| = y + 8$.
• $y - 8 < 0$, поэтому $|y - 8| = -(y - 8) = -y + 8$.
• $y \le 0$, поэтому $|y| = -y$.

Подставим в уравнение:

$(y + 8) + (-y + 8) + (-y) = 30$

$16 - y = 30$

$y = 16 - 30 = -14$

Значение $y = -14$ не принадлежит промежутку $(-8, 0]$. Следовательно, в этом интервале решений нет.

3. Точка Y лежит между D и K, то есть $0 < y < 8$.

В этом случае:

• $y + 8 > 0$, поэтому $|y + 8| = y + 8$.
• $y - 8 < 0$, поэтому $|y - 8| = -(y - 8) = -y + 8$.
• $y > 0$, поэтому $|y| = y$.

Подставим в уравнение:

$(y + 8) + (-y + 8) + y = 30$

$16 + y = 30$

$y = 14$

Значение $y = 14$ не принадлежит промежутку $(0, 8)$. Следовательно, в этом интервале решений нет.

4. Точка Y лежит правее точки K (или совпадает с ней), то есть $y \ge 8$.

В этом случае:

• $y + 8 > 0$, поэтому $|y + 8| = y + 8$.
• $y - 8 \ge 0$, поэтому $|y - 8| = y - 8$.
• $y > 0$, поэтому $|y| = y$.

Подставим в уравнение:

$(y + 8) + (y - 8) + y = 30$

$3y = 30$

$y = 10$

Значение $y = 10$ удовлетворяет условию $y \ge 8$. Следовательно, это второе решение. Эта точка находится на расстоянии $|10| = 10$ см от точки $D$ в положительном направлении. Расстояние от точки $K(8)$ до этой точки $Y(10)$ равно $KY = |10 - 8| = 2$ см.

Таким образом, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: Существуют две такие точки $Y$. Первая точка расположена на прямой $MK$ на расстоянии 2 см от точки $M$, при этом $M$ лежит между $Y$ и $K$. Вторая точка расположена на прямой $MK$ на расстоянии 2 см от точки $K$, при этом $K$ лежит между $M$ и $Y$.

750. На прямой отметили 10 точек: A, B, C, D, E, F, M, N, K, P. Сколько при этом образовалось отрезков, одним из концов которых является точка A? Сколько всего образовалось отрезков с концами в отмеченных точках? Зависит ли общее количество отрезков от того, лежат ли отмеченные точки на одной прямой?

Сколько при этом образовалось отрезков, одним из концов которых является точка А?
Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Если один конец отрезка зафиксирован в точке А, то второй конец может находиться в любой из 9 оставшихся точек (B, C, D, E, F, M, N, K, P).
Таким образом, можно образовать 9 отрезков: AB, AC, AD, AE, AF, AM, AN, AK, AP.
Количество таких отрезков равно количеству точек, не совпадающих с А, то есть $10 - 1 = 9$.
Ответ: 9 отрезков.

Сколько всего образовалось отрезков с концами в отмеченных точках?
Для образования одного отрезка нужно выбрать две точки из десяти. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA). Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=10$ (всего точек), а $k=2$ (точек в отрезке).
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Подставим наши значения:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$.
Можно рассуждать иначе: первую точку для отрезка можно выбрать 10 способами, вторую — 9 оставшимися способами. Всего получается $10 \times 9 = 90$ пар. Так как каждая пара (например, A и B) посчитана дважды (как AB и как BA), результат нужно разделить на 2: $\frac{90}{2} = 45$.
Ответ: 45 отрезков.

Зависит ли общее количество отрезков от того, лежат ли отмеченные точки на одной прямой?
Нет, не зависит. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Для определения отрезка необходимо и достаточно иметь две различные точки. Их взаимное расположение в пространстве или на плоскости (лежат ли они на одной прямой с другими точками, на окружности или произвольно) не влияет на количество отрезков, которое можно провести между всеми парами точек. Количество отрезков зависит только от общего количества точек.
Ответ: Нет, не зависит.

751. На рисунке 383 $AN = 24$ см, $AB = BC$, $CD = DE$, $EF = FK$, $KM = MN$, $DF = 6$ см. Найдите длину отрезка $BM$.

Рис. 383

A B C D E F K M N

Согласно условию задачи, на прямой расположены точки A, B, C, D, E, F, K, M, N. Для решения введем следующие обозначения для длин равных отрезков:
Пусть длина отрезков $AB$ и $BC$ равна $x$, то есть $AB = BC = x$.
Пусть длина отрезков $CD$ и $DE$ равна $y$, то есть $CD = DE = y$.
Пусть длина отрезков $EF$ и $FK$ равна $z$, то есть $EF = FK = z$.
Пусть длина отрезков $KM$ и $MN$ равна $w$, то есть $KM = MN = w$.

Длина всего отрезка $AN$ является суммой длин составляющих его отрезков:
$AN = AB + BC + CD + DE + EF + FK + KM + MN$
Подставим наши обозначения:
$AN = x + x + y + y + z + z + w + w = 2x + 2y + 2z + 2w = 2(x+y+z+w)$.
Из условия известно, что $AN = 24$ см. Составим уравнение:
$2(x+y+z+w) = 24$
$x+y+z+w = 12$.

Также по условию известна длина отрезка $DF$. Отрезок $DF$ состоит из отрезков $DE$ и $EF$:
$DF = DE + EF$.
Подставим наши обозначения:
$DF = y + z$.
Из условия известно, что $DF = 6$ см, значит:
$y+z = 6$.

Теперь выразим длину искомого отрезка $BM$ через введенные переменные. Отрезок $BM$ состоит из отрезков $BC, CD, DE, EF, FK, KM$:
$BM = BC + CD + DE + EF + FK + KM$.
Подставим наши обозначения:
$BM = x + y + y + z + z + w = x + 2y + 2z + w$.
Сгруппируем слагаемые для удобства:
$BM = (x+w) + 2(y+z)$.

У нас есть система из двух уравнений:
1) $x+y+z+w = 12$
2) $y+z = 6$
Подставим значение $(y+z)$ из второго уравнения в первое:
$x + 6 + w = 12$
Отсюда найдем сумму $(x+w)$:
$x+w = 12 - 6 = 6$.

Теперь мы можем вычислить длину отрезка $BM$, подставив найденные значения сумм $(x+w)$ и $(y+z)$ в ранее полученное выражение:
$BM = (x+w) + 2(y+z) = 6 + 2 \cdot 6 = 6 + 12 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

752. Начертите угол $MKE$, равный $120^\circ$. Проведите луч $KC$ так, чтобы $\angle MKC=60^\circ$. Найдите угол $CKE$ и укажите его вид. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи необходимо рассмотреть два возможных случая расположения луча KC относительно угла MKE.

Случай 1: луч KC проходит внутри угла MKE.

Если луч KC проходит между сторонами угла MKE (лучами KM и KE), то угол MKE будет равен сумме углов MKC и CKE.
Это можно записать в виде формулы: $∠MKE = ∠MKC + ∠CKE$.
По условию задачи, $∠MKE = 120°$ и $∠MKC = 60°$.
Выразим из формулы искомый угол CKE:
$∠CKE = ∠MKE - ∠MKC$
$∠CKE = 120° - 60° = 60°$.
Угол, величина которого меньше 90°, называется острым. Следовательно, угол CKE — острый.
Ответ: $∠CKE = 60°$, острый угол.

Случай 2: луч KC проходит вне угла MKE.

Если луч KC расположен так, что луч KM находится между лучами KC и KE, то искомый угол CKE будет равен сумме углов MKC и MKE.
Формула для этого случая: $∠CKE = ∠MKC + ∠MKE$.
Подставим известные значения:
$∠CKE = 60° + 120° = 180°$.
Угол, величина которого равна 180°, называется развёрнутым. Следовательно, угол CKE — развёрнутый.
Ответ: $∠CKE = 180°$, развёрнутый угол.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существует два возможных варианта построения луча KC, удовлетворяющих условиям задачи, которые приводят к разным результатам, то задача имеет два решения.
Ответ: Задача имеет 2 решения.

753. Два угла имеют общую сторону и не имеют других общих точек. Являются ли эти углы смежными, если:

1) их величины относятся как 11 : 19 и один из углов на $32^\circ$ больше другого?

2) их величины относятся как 7 : 3 и один из углов на $72^\circ$ меньше другого?

Два угла, имеющие общую сторону и не имеющие других общих точек, являются смежными, если их сумма равна $180^\circ$. Проверим это условие для каждого случая.

1)

Пусть величины углов равны $\alpha$ и $\beta$.

Согласно условию, их величины относятся как $11:19$, поэтому можно записать:

$\alpha = 11x$

$\beta = 19x$

Также известно, что один из углов на $32^\circ$ больше другого. Так как $19x > 11x$, их разность равна $32^\circ$:

$\beta - \alpha = 32^\circ$

$19x - 11x = 32$

$8x = 32$

$x = 4$

Теперь найдем величины углов:

$\alpha = 11 \cdot 4 = 44^\circ$

$\beta = 19 \cdot 4 = 76^\circ$

Найдем их сумму, чтобы проверить, являются ли они смежными:

$\alpha + \beta = 44^\circ + 76^\circ = 120^\circ$

Поскольку сумма углов ($120^\circ$) не равна $180^\circ$, эти углы не являются смежными.

Ответ: нет, не являются.

2)

Пусть величины углов равны $\gamma$ и $\delta$.

Согласно условию, их величины относятся как $7:3$. Пусть:

$\gamma = 7y$

$\delta = 3y$

Известно, что один из углов на $72^\circ$ меньше другого. Это означает, что их разность равна $72^\circ$:

$\gamma - \delta = 72^\circ$

$7y - 3y = 72$

$4y = 72$

$y = 18$

Теперь найдем величины углов:

$\gamma = 7 \cdot 18 = 126^\circ$

$\delta = 3 \cdot 18 = 54^\circ$

Найдем их сумму, чтобы проверить, являются ли они смежными:

$\gamma + \delta = 126^\circ + 54^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма углов равна $180^\circ$, а по условию они имеют общую сторону и не имеют других общих точек, эти углы являются смежными.

Ответ: да, являются.

754. На рисунке 384 $BD \perp BC$. Угол между биссектрисами углов ABD и DBC равен 55°. Найдите угол ABD.

Рис. 384

По условию задачи дано, что $BD \perp BC$. Это означает, что угол между лучами $BD$ и $BC$ является прямым, то есть его величина равна $90°$.

$∠DBC = 90°$

Пусть один луч (назовем его $BM$) является биссектрисой угла $ABD$, а другой луч (назовем его $BK$) — биссектрисой угла $DBC$. Угол между этими биссектрисами, $∠MBK$, по условию равен $55°$.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Следовательно:

$∠MBD = \frac{1}{2} ∠ABD$

$∠DBK = \frac{1}{2} ∠DBC$

Мы можем вычислить величину угла $DBK$, так как нам известен угол $DBC$:

$∠DBK = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$

Как видно из рисунка, угол между биссектрисами $∠MBK$ состоит из суммы двух углов: $∠MBD$ и $∠DBK$.

$∠MBK = ∠MBD + ∠DBK$

Теперь подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти $∠MBD$:

$55° = ∠MBD + 45°$

Выразим $∠MBD$ из уравнения:

$∠MBD = 55° - 45° = 10°$

Поскольку луч $BM$ является биссектрисой угла $ABD$, то искомый угол $ABD$ в два раза больше угла $MBD$.

$∠ABD = 2 \cdot ∠MBD$

$∠ABD = 2 \cdot 10° = 20°$

Ответ: $20°$.

755. Периметр треугольника равен 87 см, одна из сторон – $a$ см, другая – $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $a = 27$, $b = 21$.

Составьте выражение для нахождения третьей стороны.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Тогда формула периметра выглядит так: $P = a + b + c$.

По условию задачи, периметр равен 87 см. Длины двух сторон заданы как $a$ см и $b$ см. Чтобы найти длину третьей стороны $c$, нужно из периметра вычесть сумму длин двух известных сторон.

Выражение для нахождения третьей стороны $c$:
$c = P - (a + b)$

Подставляя известное значение периметра $P = 87$ см, получаем искомое выражение:
$c = 87 - (a + b)$

Ответ: $87 - (a + b)$.

Вычислите длину третьей стороны, если $a = 27, b = 21$.

Воспользуемся полученным выражением для нахождения третьей стороны и подставим в него заданные значения $a = 27$ и $b = 21$:
$c = 87 - (27 + 21)$

Выполним вычисления по порядку действий:
1. Сначала выполним сложение в скобках: $27 + 21 = 48$ см.
2. Теперь вычтем полученную сумму из периметра: $87 - 48 = 39$ см.

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 39 см.

Ответ: 39 см.