Страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

817. Докажите, что хорда окружности, которая перпендикулярна другой хорде этой окружности и проходит через её середину, является диаметром данной окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности, которые пересекаются в точке $M$.

По условию задачи, хорда $CD$ перпендикулярна хорде $AB$ ($CD \perp AB$) и проходит через ее середину $M$ ($AM = MB$).

Требуется доказать, что хорда $CD$ является диаметром. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности.

Доказательство.

Прямая, содержащая хорду $CD$, проходит через середину хорды $AB$ и перпендикулярна ей. По определению, такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Рассмотрим центр окружности $O$. Соединим его с концами хорды $A$ и $B$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами данной окружности, поэтому их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что центр окружности $O$ равноудален от концов хорды $AB$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Так как точка $O$ равноудалена от $A$ и $B$, она должна лежать на серединном перпендикуляре к $AB$. Мы уже установили, что этим серединным перпендикуляром является прямая, содержащая хорду $CD$.

Следовательно, центр окружности $O$ лежит на хорде $CD$.

По определению, хорда, проходящая через центр окружности, является ее диаметром. Таким образом, хорда $CD$ — это диаметр данной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хорда, которая перпендикулярна другой хорде и делит ее пополам, является ее серединным перпендикуляром. Центр окружности равноудален от концов любой хорды, так как эти расстояния равны радиусу. По свойству серединного перпендикуляра, он содержит все точки, равноудаленные от концов отрезка, следовательно, он содержит и центр окружности. Таким образом, хорда, лежащая на серединном перпендикуляре к другой хорде, проходит через центр окружности и является ее диаметром.

818. Отрезки $AB$, $AC$ и $BD$ соответственно диаметр и хорды окружности, причём $AC \parallel BD$. Докажите, что отрезок $CD$ – диаметр окружности.

Доказательство

По условию задачи, отрезок $AB$ является диаметром окружности, а отрезки $AC$ и $BD$ — хордами. Также известно, что хорда $AC$ параллельна хорде $BD$ ($AC \parallel BD$).

В окружности параллельные хорды высекают равные дуги. Следовательно, дуги, заключённые между хордами $AC$ и $BD$, равны между собой. То есть, градусная мера дуги $AD$ равна градусной мере дуги $BC$.

$\text{дуга } AD = \text{дуга } BC$

Поскольку $AB$ — это диаметр, он делит окружность на две полуокружности, каждая из которых имеет градусную меру $180^\circ$. Рассмотрим полуокружность, проходящую через точку $C$. Градусная мера дуги $ACB$ равна $180^\circ$. Это можно представить в виде суммы дуг:

$\text{дуга } AC + \text{дуга } CB = 180^\circ$

Чтобы доказать, что отрезок $CD$ является диаметром, нужно показать, что он стягивает дугу, равную $180^\circ$. Рассмотрим дугу $CAD$. Её градусная мера равна сумме градусных мер дуг $CA$ и $AD$:

$\text{дуга } CAD = \text{дуга } CA + \text{дуга } AD$

Так как мы ранее установили, что $\text{дуга } AD = \text{дуга } BC$, мы можем выполнить подстановку в последнем равенстве:

$\text{дуга } CAD = \text{дуга } CA + \text{дуга } BC$

Как было показано выше, сумма дуг $CA$ и $BC$ равна $180^\circ$. Следовательно:

$\text{дуга } CAD = 180^\circ$

Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Таким образом, отрезок $CD$ — диаметр окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отрезок $CD$ является диаметром.

819. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, точка $O$ – центр вписанной окружности, точки $D$ и $E$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно, $\angle ABC = 48^\circ$. Найдите угол $DOE$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, следовательно, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому мы можем найти углы при основании $AC$.

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2$

Подставим известное значение $\angle ABC = 48^\circ$:

$\angle BAC = (180^\circ - 48^\circ) / 2 = 132^\circ / 2 = 66^\circ$.

Точка $O$ — центр вписанной окружности, а $D$ и $E$ — точки касания этой окружности со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным (сторонам треугольника). Таким образом, $OD \perp AC$ и $OE \perp AB$. Отсюда следует, что $\angle ODA = 90^\circ$ и $\angle OEA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $AEOD$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Углы этого четырехугольника: $\angle EAD$ (что то же самое, что и $\angle BAC$), $\angle AEO$, $\angle EOD$ и $\angle ODA$.

$\angle EAD + \angle AEO + \angle EOD + \angle ODA = 360^\circ$

Подставим известные нам значения углов:

$66^\circ + 90^\circ + \angle EOD + 90^\circ = 360^\circ$

$246^\circ + \angle EOD = 360^\circ$

$\angle EOD = 360^\circ - 246^\circ = 114^\circ$.

Искомый угол $DOE$ равен $114^\circ$.

Ответ: $114^\circ$.

820. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $E$ соответственно, $AK = BM = CE$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и вписанную в него окружность. Пусть точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ будут $K$, $M$ и $E$ соответственно.

Основное свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки, заключается в том, что их длины равны. Применительно к нашему треугольнику это означает:
$AK = AE$ (касательные из вершины $A$);
$BK = BM$ (касательные из вершины $B$);
$CM = CE$ (касательные из вершины $C$).

По условию задачи нам дано равенство: $AK = BM = CE$.

Давайте обозначим эту равную длину за $x$. То есть, $AK = BM = CE = x$.

Теперь мы можем объединить информацию из свойства касательных и условия задачи:
Поскольку $AK = AE$ и $AK = x$, то $AE = x$.
Поскольку $BK = BM$ и $BM = x$, то $BK = x$.
Поскольку $CM = CE$ и $CE = x$, то $CM = x$.

Таким образом, мы выяснили, что все отрезки, на которые точки касания делят стороны треугольника, равны между собой:
$AK = AE = BK = BM = CM = CE = x$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $ABC$. Каждая сторона состоит из двух таких отрезков:
Длина стороны $AB = AK + KB = x + x = 2x$.
Длина стороны $BC = BM + MC = x + x = 2x$.
Длина стороны $AC = AE + EC = x + x = 2x$.

В результате мы видим, что все три стороны треугольника $ABC$ равны:
$AB = BC = AC = 2x$.

Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является равносторонним. Следовательно, треугольник $ABC$ — равносторонний. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

821. Биссектрисы $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O_1$, биссектрисы $EF$ и $DK$ треугольника $DEB$ пересекаются в точке $O_2$. Докажите, что точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что они принадлежат одной и той же биссектрисе угла с вершиной в точке $B$.

В треугольнике $ABC$ точка $O_1$ является точкой пересечения биссектрис $AD$ и $CE$. По определению, точка пересечения биссектрис треугольника является его инцентром (центром вписанной окружности). Все три биссектрисы треугольника пересекаются в инцентре. Следовательно, биссектриса угла $\angle ABC$ также проходит через точку $O_1$. Это означает, что точки $B$ и $O_1$ лежат на биссектрисе угла $\angle ABC$.

В треугольнике $DEB$ точка $O_2$ является точкой пересечения биссектрис $EF$ и $DK$. Аналогично предыдущему пункту, точка $O_2$ является инцентром треугольника $DEB$. Следовательно, биссектриса угла $\angle DBE$ также проходит через точку $O_2$. Это означает, что точки $B$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $\angle DBE$.

Рассмотрим углы $\angle ABC$ и $\angle DBE$. По условию, точка $D$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ — на стороне $AB$. Это значит, что луч $BD$ совпадает с лучом $BC$, а луч $BE$ совпадает с лучом $BA$. Следовательно, углы $\angle ABC$ и $\angle DBE$ являются одним и тем же углом.

Мы установили, что:

• точки $B$ и $O_1$ лежат на биссектрисе угла $\angle ABC$;
• точки $B$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $\angle DBE$.

Поскольку $\angle ABC = \angle DBE$, их биссектрисы совпадают. У каждого угла есть только одна биссектриса. Таким образом, прямая, содержащая биссектрису угла $\angle ABC$, является той же прямой, что содержит биссектрису угла $\angle DBE$.

Так как точки $B$, $O_1$ и $O_2$ принадлежат этой единственной прямой (биссектрисе угла при вершине $B$), они лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать. Точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $\angle B$, а следовательно, на одной прямой.

822. Через вершину данного угла проведите вне его прямую так, чтобы она образовала со сторонами этого угла равные углы.

Пусть дан угол $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$. Требуется провести через вершину $O$ прямую $c$ вне этого угла так, чтобы она образовывала со сторонами $OA$ и $OB$ равные углы.

Искомая прямая является биссектрисой угла, смежного с данным. Для её построения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Продолжить один из лучей, образующих угол, например $OA$, за вершину $O$. Получим дополнительный луч $OA'$.
2. В результате образуется угол $\angle A'OB$, смежный с данным углом $\angle AOB$.
3. Построить биссектрису угла $\angle A'OB$. Обозначим эту биссектрису лучом $OC$.
4. Прямая, содержащая луч $OC$, и будет искомой прямой $c$.

Доказательство:

Докажем, что построенная прямая $c$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Прямая $c$ проходит через вершину $O$ по построению.
2. Прямая $c$ лежит вне угла $\angle AOB$. Так как луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle A'OB$, он находится внутри этого угла. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB$ — смежные, их внутренние области не пересекаются. Следовательно, прямая $c$ лежит вне угла $\angle AOB$.
3. Прямая $c$ образует равные углы со сторонами $OA$ и $OB$. Углом между прямой и лучом, выходящим из точки на прямой, считается наименьший из образуемых ими углов.
   • Угол между прямой $c$ и стороной $OB$ — это $\angle BOC$. Так как $OC$ — биссектриса $\angle A'OB$, то $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle A'OB$. Поскольку $\angle A'OB = 180^\circ - \angle AOB$, то $\angle BOC = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle AOB) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$. Если исходный угол $\angle AOB$ не нулевой, то $\angle BOC$ является острым.
   • Угол между прямой $c$ и стороной $OA$. Прямая $c$ образует с прямой $A'A$ две пары вертикальных углов. Нас интересуют углы, образованные с лучом $OA$: $\angle AOC$ и $\angle A'OC$. По построению, $OC$ — биссектриса $\angle A'OB$, следовательно, $\angle A'OC = \angle BOC$. Мы уже выяснили, что этот угол острый. Угол $\angle AOC$ является смежным с углом $\angle A'OC$, значит, $\angle AOC = 180^\circ - \angle A'OC$, то есть он тупой. Наименьший угол между прямой $c$ и стороной $OA$ — это $\angle A'OC$.
   • Сравнивая полученные углы, имеем: угол между прямой $c$ и стороной $OB$ равен $\angle BOC$, а угол между прямой $c$ и стороной $OA$ равен $\angle A'OC$. По построению биссектрисы, $\angle BOC = \angle A'OC$.

Таким образом, построенная прямая $c$ образует равные углы со сторонами данного угла $\angle AOB$.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с данным.

823. Через данную точку A, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, образующую с данной прямой данный угол.

Задача заключается в построении прямой, проходящей через заданную точку $A$ и образующей заданный угол $\alpha$ с заданной прямой $l$, которой точка $A$ не принадлежит. Решение этой задачи на построение можно разбить на несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть дана прямая $l$, точка $A \notin l$ и угол $\alpha$. Требуется построить прямую $m$, такую что $A \in m$ и угол между $m$ и $l$ равен $\alpha$.

Основная идея решения состоит в том, чтобы свести задачу к последовательности уже известных базовых построений. Если мы построим некоторую вспомогательную прямую $m'$, которая пересекает прямую $l$ под углом $\alpha$, то искомая прямая $m$ должна быть ей параллельна ($m \parallel m'$). Это следует из свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей: соответственные углы равны. Если прямая $l$ будет секущей для параллельных прямых $m$ и $m'$, то угол между $m$ и $l$ будет равен углу между $m'$ и $l$.

Таким образом, задача сводится к выполнению двух стандартных построений с помощью циркуля и линейки:

1. Построение прямой $m'$, образующей с данной прямой $l$ заданный угол $\alpha$.
2. Построение прямой $m$, проходящей через данную точку $A$ параллельно прямой $m'$.

Построение

Алгоритм построения искомой прямой:

1. На данной прямой $l$ выбираем произвольную точку $B$.
2. С помощью циркуля и линейки строим прямую $m'$, проходящую через точку $B$ и образующую с прямой $l$ угол $\alpha$. Для этого от одного из лучей прямой $l$ с началом в точке $B$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$.
3. Теперь строим прямую $m$, проходящую через точку $A$ параллельно прямой $m'$. Для этого проведем через точки $A$ и $B$ прямую (секущую).
4. Угол, образованный секущей $AB$ и прямой $m'$, копируем в точку $A$ таким образом, чтобы новый угол и исходный были соответственными или накрест лежащими.
5. Проводим прямую $m$ через точку $A$ и вторую сторону построенного угла. Эта прямая и будет искомой.

Доказательство

Построенная прямая $m$ проходит через точку $A$ по построению (шаг 5).

Поскольку соответственные (или накрест лежащие) углы, образованные при пересечении прямых $m$ и $m'$ секущей $AB$, равны по построению (шаг 4), то прямые $m$ и $m'$ параллельны: $m \parallel m'$.

Так как $m \parallel m'$, а прямая $l$ их пересекает, то соответственные углы, образованные этими прямыми с секущей $l$, равны. Угол между вспомогательной прямой $m'$ и прямой $l$ по построению равен $\alpha$ (шаг 2). Следовательно, угол между искомой прямой $m$ и данной прямой $l$ также равен $\alpha$. Таким образом, построенная прямая $m$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Рассмотрим, сколько решений может иметь задача. Угол между прямыми по определению считается нетупым, то есть $0^\circ < \alpha \leq 90^\circ$.

• Если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (угол острый): на шаге 2 мы можем построить две разные вспомогательные прямые $m'$, откладывая угол $\alpha$ по разные стороны от прямой $l$ (или, что эквивалентно, образуя с ней углы $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$). Каждая из этих двух прямых (которые симметричны относительно прямой $l$) породит свою искомую прямую, проходящую через $A$. В результате мы получим две прямые, которые симметричны друг другу относительно перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения.
• Если $\alpha = 90^\circ$ (угол прямой): вспомогательная прямая $m'$ будет перпендикулярна прямой $l$. Прямая $m$, параллельная $m'$ и проходящая через $A$, также будет перпендикулярна $l$. Так как через точку, не лежащую на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой, то в этом случае задача имеет одно решение.

Ответ:

Алгоритм построения искомой прямой следующий:

1. На данной прямой $l$ выбрать произвольную точку $B$.
2. Построить вспомогательную прямую $m'$, проходящую через точку $B$ и образующую с прямой $l$ заданный угол $\alpha$.
3. Построить прямую $m$, проходящую через точку $A$ и параллельную прямой $m'$. Прямая $m$ является искомой.

Задача имеет следующее количество решений в зависимости от величины угла $\alpha$ (где $0^\circ < \alpha \leq 90^\circ$):

• Два решения, если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Одно решение, если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$).

824. Решите кроссворд.

По горизонтали:

4. Прямые, которые не пересекаются. 5. Древнегреческий математик. 6. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. 8. Два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого. 10. Хорда, проходящая через центр окружности. 11. Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром. 12. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки. 13. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. 14. Угол, смежный с углом треугольника. 15. Одна из частей, на которые произвольная точка разбивает прямую. 18. Утверждение, правильность которого принимают без доказательства. 22. Две прямые, при пересечении которых образуются прямые углы. 23. Утверждение, правильность которого устанавливают с помощью доказательства. 24. Отрезок, соединяющий две точки окружности. 25. Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. 27. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей его противолежащую сторону. 28. Точка, равноудалённая от всех точек окружности. 29. Автор книги «Начала».

По вертикали:

1. Луч с началом в вершине угла, который делит угол на два равных угла. 2. Геометрическая фигура. 3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 7. Два угла, одна сторона которых общая, а две другие — дополнительные лучи. 9. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. 12. Окружность, проходящая через все вершины треугольника. 16. Геометрическое место точек, расстояния от которых до данной точки не больше данного числа. 17. Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. 19. Угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. 20. Единица измерения углов. 21. Сумма длин всех сторон треугольника. 26. Геометрическая фигура.

По горизонтали

4. Прямые, которые не пересекаются.
Это определение параллельных прямых.
Ответ: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ

5. Древнегреческий математик.
Один из самых известных математиков Древней Греции, автор «Начал».
Ответ: ЕВКЛИД

6. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.
Эта сторона является самой длинной в прямоугольном треугольнике.
Ответ: ГИПОТЕНУЗА

8. Два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого.
Такие углы образуются при пересечении двух прямых и равны между собой.
Ответ: ВЕРТИКАЛЬНЫЕ

10. Хорда, проходящая через центр окружности.
Это самая длинная хорда в окружности, равная двум радиусам.
Ответ: ДИАМЕТР

11. Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
Длина этого отрезка одинакова для всех точек данной окружности.
Ответ: РАДИУС

12. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки.
Данная точка называется центром, а расстояние — радиусом.
Ответ: ОКРУЖНОСТЬ

13. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.
В прямоугольном треугольнике два таких стороны.
Ответ: КАТЕТ

14. Угол, смежный с углом треугольника.
Этот угол дополняет внутренний угол треугольника до $180^\circ$.
Ответ: ВНЕШНИЙ

15. Одна из частей, на которые произвольная точка разбивает прямую.
Это часть прямой, ограниченная с одной стороны.
Ответ: ЛУЧ

18. Утверждение, правильность которого принимают без доказательства.
Это исходное положение какой-либо теории.
Ответ: АКСИОМА

22. Две прямые, при пересечении которых образуются прямые углы.
Угол между такими прямыми составляет $90^\circ$.
Ответ: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ

23. Утверждение, правильность которого устанавливают с помощью доказательства.
Это утверждение, которое доказывается на основе аксиом и ранее доказанных утверждений.
Ответ: ТЕОРЕМА

24. Отрезок, соединяющий две точки окружности.
Любой отрезок, концы которого лежат на окружности.
Ответ: ХОРДА

25. Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
Такой угол "шире" прямого, но "уже" развёрнутого.
Ответ: ТУПОЙ

27. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей его противолежащую сторону.
Это один из трёх основных отрезков в треугольнике, наряду с медианой и биссектрисой.
Ответ: ВЫСОТА

28. Точка, равноудалённая от всех точек окружности.
Это центральная точка окружности или круга.
Ответ: ЦЕНТР

29. Автор книги «Начала».
Древнегреческий математик, которого часто называют «отцом геометрии».
Ответ: ЕВКЛИД

По вертикали

1. Луч с началом в вершине угла, который делит угол на два равных угла.
Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Ответ: БИССЕКТРИСА

2. Геометрическая фигура.
Часть прямой, ограниченная двумя точками.
Ответ: ОТРЕЗОК

3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Ответ: МЕДИАНА

7. Два угла, одна сторона которых общая, а две другие — дополнительные лучи.
Сумма таких углов всегда равна $180^\circ$.
Ответ: СМЕЖНЫЕ

9. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Эта прямая перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Ответ: КАСАТЕЛЬНАЯ

12. Окружность, проходящая через все вершины треугольника.
Такая окружность существует для любого треугольника, и её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
Ответ: ОПИСАННАЯ

16. Геометрическое место точек, расстояния от которых до данной точки не больше данного числа.
Эта фигура включает в себя окружность и всю область внутри неё.
Ответ: КРУГ

17. Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
Углы в квадрате или прямоугольнике.
Ответ: ПРЯМОЙ

19. Угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
Все углы в равностороннем треугольнике являются такими.
Ответ: ОСТРЫЙ

20. Единица измерения углов.
$1/360$ часть полной окружности.
Ответ: ГРАДУС

21. Сумма длин всех сторон треугольника.
Эта величина характеризует "длину границы" многоугольника.
Ответ: ПЕРИМЕТР

26. Геометрическая фигура.
Простейшая геометрическая фигура, не имеющая измерений.
Ответ: ТОЧКА