Номер 822, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 822, страница 197.

822. Через вершину данного угла проведите вне его прямую так, чтобы она образовала со сторонами этого угла равные углы.

Пусть дан угол $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$. Требуется провести через вершину $O$ прямую $c$ вне этого угла так, чтобы она образовывала со сторонами $OA$ и $OB$ равные углы.

Искомая прямая является биссектрисой угла, смежного с данным. Для её построения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Продолжить один из лучей, образующих угол, например $OA$, за вершину $O$. Получим дополнительный луч $OA'$.
2. В результате образуется угол $\angle A'OB$, смежный с данным углом $\angle AOB$.
3. Построить биссектрису угла $\angle A'OB$. Обозначим эту биссектрису лучом $OC$.
4. Прямая, содержащая луч $OC$, и будет искомой прямой $c$.

Доказательство:

Докажем, что построенная прямая $c$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Прямая $c$ проходит через вершину $O$ по построению.
2. Прямая $c$ лежит вне угла $\angle AOB$. Так как луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle A'OB$, он находится внутри этого угла. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB$ — смежные, их внутренние области не пересекаются. Следовательно, прямая $c$ лежит вне угла $\angle AOB$.
3. Прямая $c$ образует равные углы со сторонами $OA$ и $OB$. Углом между прямой и лучом, выходящим из точки на прямой, считается наименьший из образуемых ими углов.
   • Угол между прямой $c$ и стороной $OB$ — это $\angle BOC$. Так как $OC$ — биссектриса $\angle A'OB$, то $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle A'OB$. Поскольку $\angle A'OB = 180^\circ - \angle AOB$, то $\angle BOC = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle AOB) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$. Если исходный угол $\angle AOB$ не нулевой, то $\angle BOC$ является острым.
   • Угол между прямой $c$ и стороной $OA$. Прямая $c$ образует с прямой $A'A$ две пары вертикальных углов. Нас интересуют углы, образованные с лучом $OA$: $\angle AOC$ и $\angle A'OC$. По построению, $OC$ — биссектриса $\angle A'OB$, следовательно, $\angle A'OC = \angle BOC$. Мы уже выяснили, что этот угол острый. Угол $\angle AOC$ является смежным с углом $\angle A'OC$, значит, $\angle AOC = 180^\circ - \angle A'OC$, то есть он тупой. Наименьший угол между прямой $c$ и стороной $OA$ — это $\angle A'OC$.
   • Сравнивая полученные углы, имеем: угол между прямой $c$ и стороной $OB$ равен $\angle BOC$, а угол между прямой $c$ и стороной $OA$ равен $\angle A'OC$. По построению биссектрисы, $\angle BOC = \angle A'OC$.

Таким образом, построенная прямая $c$ образует равные углы со сторонами данного угла $\angle AOB$.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с данным.