Номер 820, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 820, страница 197.

820. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $E$ соответственно, $AK = BM = CE$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и вписанную в него окружность. Пусть точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ будут $K$, $M$ и $E$ соответственно.

Основное свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки, заключается в том, что их длины равны. Применительно к нашему треугольнику это означает:
$AK = AE$ (касательные из вершины $A$);
$BK = BM$ (касательные из вершины $B$);
$CM = CE$ (касательные из вершины $C$).

По условию задачи нам дано равенство: $AK = BM = CE$.

Давайте обозначим эту равную длину за $x$. То есть, $AK = BM = CE = x$.

Теперь мы можем объединить информацию из свойства касательных и условия задачи:
Поскольку $AK = AE$ и $AK = x$, то $AE = x$.
Поскольку $BK = BM$ и $BM = x$, то $BK = x$.
Поскольку $CM = CE$ и $CE = x$, то $CM = x$.

Таким образом, мы выяснили, что все отрезки, на которые точки касания делят стороны треугольника, равны между собой:
$AK = AE = BK = BM = CM = CE = x$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $ABC$. Каждая сторона состоит из двух таких отрезков:
Длина стороны $AB = AK + KB = x + x = 2x$.
Длина стороны $BC = BM + MC = x + x = 2x$.
Длина стороны $AC = AE + EC = x + x = 2x$.

В результате мы видим, что все три стороны треугольника $ABC$ равны:
$AB = BC = AC = 2x$.

Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является равносторонним. Следовательно, треугольник $ABC$ — равносторонний. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.