Номер 814, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 814, страница 196.

814. Радиус $OC$ окружности с центром $O$ делит пополам хорду $AB$, не являющуюся диаметром. Через точку $C$ провели касательную к окружности. Докажите, что эта касательная параллельна хорде $AB$.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Радиус $OC$ пересекает хорду $AB$ в точке $M$ и, по условию задачи, делит ее пополам. Это означает, что $M$ — середина хорды $AB$, и, следовательно, $AM = MB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OA = OB$). Это значит, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$, поэтому $OM$ является медианой треугольника $\triangle AOB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OM \perp AB$.

Поскольку радиус $OC$ содержит отрезок $OM$, то прямая, на которой лежит радиус $OC$, перпендикулярна прямой, на которой лежит хорда $AB$. Запишем это как $OC \perp AB$.

Теперь рассмотрим касательную, проведенную через точку $C$. Обозначим эту касательную как прямую $l$. По свойству касательной к окружности, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, касательная $l$ перпендикулярна радиусу $OC$, то есть $l \perp OC$.

Мы установили, что хорда $AB$ и касательная $l$ перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей радиус $OC$. Согласно признаку параллельности прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, $l \parallel AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде ($OC \perp AB$), а касательная в конечной точке радиуса также перпендикулярна ему ($l \perp OC$), то хорда и касательная параллельны друг другу как две прямые, перпендикулярные третьей.