Номер 809, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 809, страница 196.

809. Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Пусть прямая $a$ является касательной к окружности в точке $A$, а прямая $b$ — касательной в точке $B$. Нам необходимо доказать, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$. Это означает, что угол между прямой $a$ и радиусом $OA$ равен $90^\circ$.

Аналогично, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $b$, и угол между прямой $b$ и радиусом $OB$ равен $90^\circ$.

Диаметр $AB$ представляет собой прямую линию, проходящую через точки $A$, $O$ и $B$. Следовательно, радиусы $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$.

Из этого следует, что прямая $a$ перпендикулярна прямой $AB$ ($a \perp AB$), и прямая $b$ перпендикулярна прямой $AB$ ($b \perp AB$).

По признаку параллельности двух прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны.

Так как обе касательные $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой (диаметру $AB$), то они параллельны друг другу. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Касательные, проведённые к окружности через концы диаметра, параллельны.