Номер 812, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 812, страница 196.

к окружности.

812. Через точку $A$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $AM$ и $AK$, $M$ и $K$ — точки касания. Точка пересечения отрезка $OA$ с окружностью является серединой этого отрезка. Найдите угол $\angle MAK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔAMO$, где $O$ — центр окружности, $A$ — точка, из которой проведены касательные, и $M$ — точка касания.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp AM$, и угол $∠AMO = 90°$. Таким образом, треугольник $ΔAMO$ является прямоугольным.

2. Обозначим радиус окружности как $r$. Тогда длина катета $OM$ равна $r$.

3. Согласно условию, точка пересечения отрезка $OA$ с окружностью является серединой этого отрезка. Пусть эта точка — $P$. Так как точка $P$ лежит на окружности, то расстояние от нее до центра $O$ равно радиусу, то есть $OP = r$.

4. Поскольку $P$ — середина отрезка $OA$, то $AP = OP$. Из этого следует, что $AP = r$.

5. Длина гипотенузы $OA$ в треугольнике $ΔAMO$ равна сумме длин отрезков $AP$ и $OP$:

$OA = AP + OP = r + r = 2r$

6. Теперь в прямоугольном треугольнике $ΔAMO$ известны длина катета $OM = r$ и гипотенузы $OA = 2r$. Найдем синус угла $∠MAO$:

$ \sin(\angle MAO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{OA} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} $

7. Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30°$. Следовательно, $∠MAO = 30°$. (Также это следует из свойства прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы).

8. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезок $OA$, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными ($∠MAK$). Это следует из равенства прямоугольных треугольников $ΔAMO$ и $ΔAKO$ (по гипотенузе и катету). Таким образом, $∠MAK = 2 \cdot ∠MAO$.

9. Вычислим искомый угол $∠MAK$:

$ \angle MAK = 2 \cdot 30° = 60° $

Ответ: 60°.