Номер 805, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 805, страница 196.

805. Отрезки $AC$, $AB$ и $BC$ – соответственно диаметр и хорды окружности с центром $O$, причём $AB = BC$. Найдите угол $AOB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$, образованные хордами $AB$ и $BC$, и радиусами $OA$, $OB$, $OC$.

По условию, $AC$ является диаметром, а $O$ — центром окружности. Следовательно, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, и они равны между собой: $OA = OB = OC$.

Сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$:

1. $OA = OC$ (как радиусы).
2. $OB$ — общая сторона.
3. $AB = BC$ (по условию задачи).

Таким образом, $\triangle AOB = \triangle COB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, центральные углы, соответствующие равным хордам, равны: $\angle AOB = \angle COB$.

Угол $\angle AOC$ является развернутым, так как его стороны лежат на диаметре $AC$. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Этот угол состоит из двух смежных углов $\angle AOB$ и $\angle COB$: $\angle AOC = \angle AOB + \angle COB$

Так как $\angle AOB = \angle COB$, мы можем переписать это уравнение следующим образом: $180^\circ = \angle AOB + \angle AOB = 2 \cdot \angle AOB$

Отсюда найдем величину угла $\angle AOB$: $\angle AOB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$