Номер 801, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 801, страница 195.

801. Один из углов прямоугольного треугольника равен $60^\circ$, а сумма гипотенузы и меньшего катета – 27 см. Найдите эти стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Один из его острых углов по условию равен $60°$. Так как сумма углов треугольника составляет $180°$, а один угол прямой ($90°$), то третий угол равен: $180° - 90° - 60° = 30°$.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Следовательно, меньший катет лежит напротив угла в $30°$.

Обозначим меньший катет как $a$, а гипотенузу как $c$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. То есть, $a = \frac{c}{2}$, откуда следует, что $c = 2a$.

По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 27 см:
$c + a = 27$

Подставим в это уравнение выражение $c = 2a$:
$2a + a = 27$
$3a = 27$
$a = \frac{27}{3}$
$a = 9$ (см)

Таким образом, мы нашли меньший катет. Теперь найдем гипотенузу:
$c = 2a = 2 \cdot 9 = 18$ (см)

Осталось найти второй, больший катет. Обозначим его $b$. Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$9^2 + b^2 = 18^2$
$81 + b^2 = 324$
$b^2 = 324 - 81$
$b^2 = 243$
$b = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$ (см)

Ответ: меньший катет – 9 см, гипотенуза – 18 см, больший катет – $9\sqrt{3}$ см.