Номер 794, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 794, страница 195.

794. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, высоты $BM$ и $EK$ равны. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Дано:

В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ дано:

1. $\angle A = \angle D$

2. $\angle B = \angle E$

3. $BM$ — высота в $\triangle ABC$, $EK$ — высота в $\triangle DEF$

4. $BM = EK$

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle DEF$

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$. Так как $BM$ — высота, опущенная на сторону $AC$, то $\angle BMA = 90^\circ$. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEK$. Так как $EK$ — высота, опущенная на сторону $DF$, то $\angle EKD = 90^\circ$.

2. Сравним треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$. В них:

- $BM = EK$ (по условию)

- $\angle A = \angle D$ (по условию)

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ равны по катету и противолежащему острому углу. (Это является частным случаем признака равенства по стороне и двум углам, так как если равны два угла, то равны и третьи: $\angle ABM = 90^\circ - \angle A$ и $\angle DEK = 90^\circ - \angle D$).

3. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, равны их гипотенузы: $AB = DE$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$. В них:

- $\angle A = \angle D$ (по условию)

- $AB = DE$ (доказано в предыдущем пункте)

- $\angle B = \angle E$ (по условию)

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle DEF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle DEF$ доказано.