Номер 790, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 790, страница 195.

790. Высоты $BM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $\angle ABC = 35^\circ$, $\angle ACB = 83^\circ$. Найдите $\angle BHC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, в нем даны два угла: $\angle ABC = 35^\circ$ и $\angle ACB = 83^\circ$. $BM$ и $CK$ — это высоты, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно, и они пересекаются в точке $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKB$. Поскольку $CK$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AB$, из чего следует, что $\angle CKB = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $CKB$ нам известны два угла: $\angle CKB = 90^\circ$ и $\angle KBC = \angle ABC = 35^\circ$. Найдем третий угол $\angle KCB$:

$\angle KCB = 180^\circ - \angle CKB - \angle KBC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Так как точка $H$ лежит на отрезке $CK$, угол $\angle HCB$ совпадает с углом $\angle KCB$, следовательно, $\angle HCB = 55^\circ$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$. Так как $BM$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AC$, поэтому $\angle BMC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен угол $\angle MCB = \angle ACB = 83^\circ$. Найдем угол $\angle MBC$:

$\angle MBC = 180^\circ - \angle BMC - \angle MCB = 180^\circ - 90^\circ - 83^\circ = 7^\circ$.

Так как точка $H$ лежит на отрезке $BM$, угол $\angle HBC$ совпадает с углом $\angle MBC$, следовательно, $\angle HBC = 7^\circ$.

3. Наконец, рассмотрим треугольник $BHC$. Нам известны два его угла: $\angle HBC = 7^\circ$ и $\angle HCB = 55^\circ$. Сумма углов в треугольнике $BHC$ также равна $180^\circ$. Найдем искомый угол $\angle BHC$:

$\angle BHC = 180^\circ - (\angle HBC + \angle HCB) = 180^\circ - (7^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

Ответ: $118^\circ$.