Номер 792, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 792, страница 195.

792. На гипотенузе $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AC = AM$ и $BC = BK$. Найдите угол $MCK$.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что катеты равны, $AC = BC$, и угол при вершине $C$ равен $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, углы при его основании (гипотенузе $AB$) равны. Найдем их величину из суммы углов треугольника:$\angle CAB = \angle CBA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию задачи, $AC = AM$. Это значит, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $CM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при вершине $A$ этого треугольника, $\angle CAM$, совпадает с углом $\angle CAB$, то есть $\angle CAM = 45^\circ$.Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти углы при основании $CM$:$\angle ACM = \angle AMC = (180^\circ - \angle CAM) / 2 = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. По условию, $BC = BK$. Следовательно, треугольник $BKC$ — равнобедренный с основанием $CK$. Угол при вершине $B$ этого треугольника, $\angle KBC$, совпадает с углом $\angle CBA$, то есть $\angle KBC = 45^\circ$.Аналогично предыдущему шагу, найдем углы при основании $CK$:$\angle BCK = \angle BKC = (180^\circ - \angle KBC) / 2 = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ$.

Мы хотим найти угол $\angle MCK$. Мы знаем, что угол $\angle ACB = 90^\circ$. Этот угол состоит из углов, образованных отрезками $CM$ и $CK$. Угол $\angle MCK$ можно найти, используя найденные углы $\angle ACM$ и $\angle BCK$.

Представим искомый угол как разность углов. Например, $\angle MCK = \angle ACM - \angle ACK$.Для этого сначала найдем $\angle ACK$. Угол $\angle ACK$ является частью угла $\angle ACB$, поэтому его можно найти, вычтя из $\angle ACB$ угол $\angle BCK$:$\angle ACK = \angle ACB - \angle BCK = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$.Теперь подставим найденное значение в формулу для $\angle MCK$:$\angle MCK = \angle ACM - \angle ACK = 67.5^\circ - 22.5^\circ = 45^\circ$.

В качестве проверки можно использовать другой метод. Углы $\angle ACM$ и $\angle BCK$ "накладываются" друг на друга. Их сумма больше, чем $\angle ACB$. Искомый угол $\angle MCK$ — это та часть, которая не покрыта дважды, то есть его можно найти по формуле:$\angle MCK = \angle ACM + \angle BCK - \angle ACB = 67.5^\circ + 67.5^\circ - 90^\circ = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$.Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $45^\circ$.