Номер 785, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 785, страница 194.

785. Высоты $AD$ и $BK$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекаются в точке $H$, $\angle AHB = 128^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Дано: $△ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$. $AD$ и $BK$ — высоты. Точка $H$ — точка пересечения высот. $∠AHB = 128°$.

Найти: углы $∠A, ∠B, ∠C$.

Решение:

1. Рассмотрим углы при точке пересечения высот $H$. Поскольку точки $A, H, D$ лежат на одной прямой (высота $AD$), углы $∠AHB$ и $∠BHD$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180°$.

   $∠BHD = 180° - ∠AHB = 180° - 128° = 52°$.

2. Рассмотрим треугольник $BHD$. Так как $AD$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то $AD \perp BC$, и следовательно, $△BHD$ является прямоугольным с прямым углом $∠BDH = 90°$.

   Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Отсюда найдем угол $∠HBD$:

   $∠HBD = 90° - ∠BHD = 90° - 52° = 38°$.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. Так как $BK$ — высота, проведенная к стороне $AC$, то $BK \perp AC$, следовательно, $∠BKC = 90°$.

   Угол $∠HBD$ — это угол между отрезком $BH$ и стороной $BC$. Так как точка $H$ лежит на высоте $BK$, то угол $∠HBD$ совпадает с углом $∠KBC$. Таким образом, $∠KBC = 38°$.

   Из прямоугольного треугольника $BKC$ найдем угол $∠BCK$, который является углом $∠C$ треугольника $ABC$:

   $∠C = ∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 38° = 52°$.

4. По условию треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ ($AB = BC$), поэтому углы при основании равны: $∠A = ∠C$.

   Следовательно, $∠A = 52°$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Найдем угол $∠B$:

   $∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (52° + 52°) = 180° - 104° = 76°$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $52°, 76°, 52°$.