Номер 791, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 791, страница 195.

791. Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины его прямого угла, равен $12^\circ$. Найдите острые углы данного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Обозначим его острые углы как $\angle A$ и $\angle B$. Из вершины прямого угла $C$ проведены высота $CH$ (где точка $H$ лежит на гипотенузе $AB$) и биссектриса $CL$ (где точка $L$ лежит на гипотенузе $AB$). По условию, угол между высотой и биссектрисой равен $12^\circ$, то есть $\angle HCL = 12^\circ$.

Так как $CL$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$, она делит его на два равных угла:$\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHA = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ равна $90^\circ$:$\angle A + \angle ACH = 90^\circ$.Из этого соотношения выразим $\angle ACH$:$\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Так как мы не знаем, какой из острых углов ($\angle A$ или $\angle B$) больше, высота $CH$ может располагаться по-разному относительно биссектрисы $CL$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Высота $CH$ лежит между катетом $AC$ и биссектрисой $CL$.
В этом случае угол $\angle ACL$ является суммой углов $\angle ACH$ и $\angle HCL$.$\angle ACL = \angle ACH + \angle HCL$
Подставим известные значения:$45^\circ = \angle ACH + 12^\circ$
Отсюда находим $\angle ACH$:$\angle ACH = 45^\circ - 12^\circ = 33^\circ$.
Теперь, используя ранее полученное соотношение $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$, найдем угол $\angle A$:$33^\circ = 90^\circ - \angle A$
$\angle A = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.
Второй острый угол $\angle B$ найдем из свойства прямоугольного треугольника ($\angle A + \angle B = 90^\circ$):$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$.

Случай 2. Биссектриса $CL$ лежит между катетом $AC$ и высотой $CH$.
В этом случае угол $\angle ACH$ является суммой углов $\angle ACL$ и $\angle HCL$.$\angle ACH = \angle ACL + \angle HCL$
Подставим известные значения:$\angle ACH = 45^\circ + 12^\circ = 57^\circ$.
Снова используем соотношение $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$:$57^\circ = 90^\circ - \angle A$
$\angle A = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$.
Находим второй острый угол $\angle B$:$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.

Оба случая приводят к одному и тому же результату: острые углы треугольника равны $33^\circ$ и $57^\circ$.

Ответ: $33^\circ$ и $57^\circ$.