Номер 787, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 787, страница 194.

787. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $42^\circ$. Найдите меньший из углов, образованных биссектрисой прямого угла и гипотенузой.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Один из острых углов равен $42^\circ$. Пусть это будет $\angle A$, то есть $\angle A = 42^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Найдем второй острый угол $\angle B$:$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

Пусть $CD$ — биссектриса прямого угла $\angle C$. Она делит угол $\angle C$ на два равных угла:$\angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Биссектриса $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$. При этом образуются два смежных угла: $\angle ADC$ и $\angle BDC$. Найдем их величины, рассмотрев один из треугольников, образовавшихся после проведения биссектрисы, например, треугольник $ADC$.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$:$\angle A + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

Отсюда можем найти угол $\angle ADC$:$\angle ADC = 180^\circ - \angle A - \angle ACD = 180^\circ - 42^\circ - 45^\circ = 93^\circ$

Углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle BDC$:$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$

Таким образом, биссектриса прямого угла образует с гипотенузой углы $93^\circ$ и $87^\circ$.

Меньший из этих углов равен $87^\circ$.

Ответ: $87^\circ$.